《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[学以致用] 2. 已知$\cos(75°+\alpha)=\frac{1}{2}$,则$\cos(105°-\alpha)$的值为 (A)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 2.A [因为$105°-\alpha=180°-(75°+\alpha)$，$\cos(75°+\alpha)=\frac{1}{2}$，
所以$\cos(105°-\alpha)=\cos[180°-(75°+\alpha)]=-\cos(75°+\alpha)=-\frac{1}{2}$.
故选A.]

3.化简：(1)$\frac{\tan(\pi+\theta)\cos(2\pi+\theta)\cos(\theta-2\pi)}{\cos(-\theta-3\pi)\sin(-3\pi-\theta)}$$-1$.
(2)$\frac{\sin(1440°+\alpha)\cos(\alpha-1080°)}{\cos(-180°-\alpha)\sin(-\alpha-180°)}=$$-1$

答案： 3.
(1)$-1$
(2)$-1$
$[(1)\frac{\tan(\pi+\theta)\cos(2\pi+\theta)\cos(\theta-2\pi)}{\cos(-\theta-3\pi)\sin(-3\pi-\theta)}$
$=\frac{\tan\theta\cos\theta\cos\theta}{-\cos\theta\sin\theta}=-1$.
(2)原式=$\frac{\sin(4×360°+\alpha)\cos(\alpha-3×360°)}{\cos(180°+\alpha)[-\sin(180°+\alpha)]}$
$=\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{-\cos\alpha\sin\alpha}=-1.$

3.已知$\tan(\pi+\alpha)=3$,求$\frac{2\cos(\pi-\alpha)-3\sin(\pi+\alpha)}{4\cos(-\alpha)+\sin(2\pi-\alpha)}$的值.

答案： 解：因为$\tan(\pi+\alpha)=3$，所以$\tan\alpha=3$.
故$\frac{2\cos(\pi-\alpha)-3\sin(\pi+\alpha)}{4\cos(-\alpha)+\sin(2\pi-\alpha)}=\frac{-2\cos\alpha+3\sin\alpha}{4\cos\alpha-\sin\alpha}$
$=\frac{-2+3\tan\alpha}{4-\tan\alpha}=\frac{-2+3×3}{4-3}=7$.

1.$\sin(-390°)$的值为 (D)

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 1.D [$\sin(-390°)=\sin(-360°-30°)=\sin(-30°)=-\sin30°=-\frac{1}{2}$.故选D.]

2.(多选)如果$\alpha+\beta=180°$,那么下列等式中不成立的是 (ACD)

A.$\cos\alpha=\cos\beta$
B.$\cos\alpha=-\cos\beta$
C.$\sin\alpha=-\sin\beta$
D.$\sin\alpha=\cos\beta$

答案： 2.ACD [因为$\alpha+\beta=180°$，所以$\alpha=180°-\beta$.
对于A，B选项，$\cos\alpha=\cos(180°-\beta)=-\cos\beta$，故A选项错误，B选项正确；
对于C选项，$\sin\alpha=\sin(180°-\beta)=\sin\beta$，故C选项错误；
对于D选项，由于$\sin\alpha=\sin\beta$，
所以$\sin\beta=\cos\beta$显然不一定成立，故D选项错误.故选ACD.]

3.已知$\sin(45°+\alpha)=\frac{5}{13}$,则$\sin(135°-\alpha)=$$\frac{5}{13}$.

答案： 3.$\frac{5}{13}$ [$\sin(135°-\alpha)=\sin[180°-(45°+\alpha)]$
$=\sin(45°+\alpha)=\frac{5}{13}$.]

4.化简：(1)$\frac{\sin(540°+\alpha)\cos(-\alpha)}{\tan(\alpha-180°)}$$-\cos^2\alpha$;
(2)$\frac{\sin(2\pi+\alpha)\cos(-\pi+\alpha)}{\cos(-\alpha)\tan\alpha}$$-\cos\alpha$

答案： 4.
(1)$-\cos^2\alpha$
(2)$-\cos\alpha$ [
(1)$\frac{\sin(540°+\alpha)\cos(-\alpha)}{\tan(\alpha-180°)}$
$=\frac{\sin(180°+\alpha)\cos\alpha}{-\sin\alpha\cos\alpha}=-\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\tan\alpha}=-\cos^2\alpha$.
(2)$\frac{\sin(2\pi+\alpha)\cos(-\pi+\alpha)}{\cos(-\alpha)\tan\alpha}=\frac{\sin\alpha(-\cos\alpha)}{\cos\alpha\tan\alpha}=-\cos\alpha$.]