《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

【例2】 (多选)已知$a^{x} = b^{-x}$,函数$y = \log_{a}(-x)$与$y = b^{x}$的图象可能是

答案： 例2 $AB$［因为$a^{x}=b^{-x}$，即$a^{x}=(\frac{1}{b})^{x}$，所以$a=\frac{1}{b}$，
当$a＞1$时，则$0＜b＜1$，
指数函数$y = b^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递减，且过点$(0,1)$；
对数函数$y=\log_{a}x$在$(0,+\infty)$上单调递增且过点$(1,0)$，将$y = \log_{a}x$的图象关于$y$轴对称得到$y=\log_{a}(-x)$的图象，
则$y=\log_{a}(-x)$在$(-\infty,0)$上单调递减且过点$(-1,0)$，故$A$符合题意；
当$0＜a＜1$时，$b＞1$，
同理可得，指数函数$y = b^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，且过点$(0,1)$，
$y=\log_{a}(-x)$在$(-\infty,0)$上单调递增且过点$(-1,0)$，故$B$符合题意.故选$AB$.］

【例3】 (1)若$0＜x＜y＜1$,则

A.$3^{y}＜3^{x}$
B.$\log_{x}3＜\log_{y}3$
C.$\log_{4}x＜\log_{4}y$
D.$(\frac{1}{4})^{x}＜(\frac{1}{4})^{y}$

答案： 例3
(1)$C$ ［
(1)因为$0＜x＜y＜1$，
对于$A$，函数$y = 3^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，故$3^{x}＜3^{y}$，$A$错误；
对于$B$，根据底数$a$对对数函数$y=\log_{a}x$的影响：当$0＜a＜1$时，在$x\in(1,+\infty)$上“底小图高”.因为$0＜x＜y＜1$，所以$\log_{3}x＞\log_{3}y$，$B$错误；
对于$C$，函数$y=\log_{4}x$在$(0,+\infty)$上单调递增，故$\log_{4}x＜\log_{4}y$，$C$正确；
对于$D$，函数$y = (\frac{1}{4})^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递减，故$(\frac{1}{4})^{x}＞(\frac{1}{4})^{y}$，$D$错误.故选$C$.

(2)设函数$f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)$,则$f(x)$是

A.奇函数,且在$(0,1)$上单调递增
B.奇函数,且在$(0,1)$上单调递减
C.偶函数,且在$(0,1)$上单调递增
D.偶函数,且在$(0,1)$上单调递减

答案：
(2)$A$［
(2)由题意可得，函数$f(x)$的定义域为$(-1,1)$，且$f(-x)=\ln(1 - x)-\ln(1 + x)=-f(x)$，故$f(x)$为奇函数.又$f(x)=\ln\frac{1 + x}{1 - x}=\ln(\frac{2}{1 - x}-1)$，易知$y=\frac{2}{1 - x}-1$在$(0,1)$上单调递增，故$f(x)$在$(0,1)$上单调递增.］

(3)已知$a＞0,a\neq1$且$\log_{a}3＞\log_{a}2$,若函数$f(x)=\log_{a}x$在区间$[a,3a]$上的最大值与最小值之差为1.
①求$a$的值;
②若$1\leq x\leq3$,求函数$y=(\log_{a}x)^{2}-\log_{a}\sqrt{x}+2$的值域.

答案：
(3)解：①因为$\log_{a}3＞\log_{a}2$，所以$f(x)=\log_{a}x$在$[a,3a]$上单调递增.
又$f(x)$在$[a,3a]$上的最大值与最小值之差为$1$，
所以$\log_{a}(3a)-\log_{a}a = 1$，即$\log_{a}3 = 1$，所以$a = 3$.
②函数$y = (\log_{3}x)^{2}-\log_{3}\sqrt{x}+2=(\log_{3}x)^{2}-\frac{1}{2}\log_{3}x + 2=(\log_{3}x-\frac{1}{4})^{2}+\frac{31}{16}$.
令$t = \log_{3}x$，因为$1\leqslant x\leqslant3$，所以$0\leqslant\log_{3}x\leqslant1$，即$0\leqslant t\leqslant1$.
所以$y=(t-\frac{1}{4})^{2}+\frac{31}{16}\in[\frac{31}{16},\frac{5}{2}]$．
所以所求函数的值域为$[\frac{31}{16},\frac{5}{2}]$．