《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[新知生成]
(1)一般区间的表示
设$a,b\in \mathbf{R}$,且$a ＜ b$,规定如下：

(2)特殊区间的表示

答案： 新知生成
(1)[a,b] (a,b)
(2)(−∞,+∞)

[典例讲评] 1.把下列数集用区间表示：
(1)$\{x\mid x\geqslant -1\}$；
(2)$\{x\mid x ＜ 0\}$；
(3)$\{x\mid -1 ＜ x ＜ 1\}$；
(4) $\{x\mid -2 ＜ x\leqslant 2$且$x\neq 0\}$.

答案： 典例讲评 1.解：
(1)\{x|x⩾−1\}=[−1,+∞).
(2)\{x|x＜0\}=(−∞,0).
(3)\{x|−1＜x＜1\}=(−1,1).
(4)\{x|−2＜x⩽2且x≠0\}=(−2,0)∪(0,2].

发现规律 用区间表示数集的关键点
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
(4)以“$-\infty$”“$+\infty$”为区间的一端时，这端必须用小括号.
[学以致用] 1.(1)集合$\{x\mid 0 ＜ x ＜ 1$或$2\leqslant x\leqslant 4\}$用区间表示为(0,1)∪[2,4].
(2)已知区间$(a^{2}+a+1,7]$,则实数$a$的取值范围是(−3,2).

答案： 发现规律
(1)小于
(3)中
(4)小
学以致用 1.
(1)(0,1)∪[2,4]
(2)(−3,2) [
(1)\{x|0＜x＜1,或2⩽x⩽4\}=(0,1)∪[2,4].
(2)由题意可知a²+a+1＜7,即a²+a−6＜0,
解得−3＜a＜2,

[典例讲评] 【链接教材 P65 例 2】
2. 已知函数$f(x)=\frac{6}{x - 1}-\sqrt{x + 4}$.
(1)求函数$f(x)$的定义域；
(2)求$f(-1),f(12)$的值；
(3)当$a ＞ 3$时，求$f(a),f(a - 1)$的值.

答案： 典例讲评 2.解：
(1)根据题意知x−1≠0且x+4⩾0,
所以x⩾−4且x≠1,
即函数f(x)的定义域为[−4,1)∪(1,+∞).
$(2)f(−1)=\frac{6}{-2}−\sqrt{−1+4}=−3−\sqrt{3}.$
$f(12)=\frac{6}{12−1}−\sqrt{12+4}=\frac{6}{11}−4=−\frac{38}{11}.$
(3)因为a＞3,所以f(a),f(a−1)有意义，
$f(a)=\frac{6}{a−1}−\sqrt{a+4};$
$f(a−1)=\frac{6}{a−2}−\sqrt{a+3}.$