《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 求值:
(1)$(\log_{4}3)$$\frac{\lg3}{\lg4}$$·$$\frac{\lg2}{\lg9}$$\frac{\lg 2}{\lg 9}$;
(2)$(\log_{2}125 + \log_{4}25 + \log_{8}5) · (\log_{125}8 + \log_{25}4 + \log_{5}2)$.$(\log_{125}5+\log_{25}5+\log_{5}5)·(\log_{5}1258+\log_{25}4+\log_{5}2)=(\log_{2}5^{3}+\log_{5}5^{2}+\log_{5}5)·(\log_{5}2^{3}+\log_{5}2^{2}+\log_{5}2)=\frac{13}{3}\log_{5}5·3\log_{5}2=\frac{13}{3}×3=13$

答案： 解：
(1)原式$=\frac{\lg3}{\lg4}·\frac{\lg2}{\lg9}·\frac{\lg3}{\lg2^{2}}·\frac{\lg2}{\lg3^{2}}=\frac{\lg3}{2\lg2}·\frac{\lg2}{2\lg3}·\frac{\lg3}{2\lg2}·\frac{\lg2}{2\lg3}=\frac{1}{4}$.
(2)$(\log_{125}5+\log_{25}5+\log_{5}5)·(\log_{5}1258+\log_{25}4+\log_{5}2)=(\log_{2}5^{3}+\log_{5}5^{2}+\log_{5}5)·(\log_{5}2^{3}+\log_{5}2^{2}+\log_{5}2)=\frac{13}{3}\log_{5}5·3\log_{5}2=\frac{13}{3}×3=13$.

[典例讲评] 2. (1)若$2^{a} = 5^{b} = 20$，则$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} =$

A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
(1)B [因为$2^{a}=5^{b}=20$，则$a=\log_{2}20$，$b=\log_{5}20$，故$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\log_{20}4+\log_{20}5=\log_{20}20=1$.故选B.]

(2)已知$\log_{3}7 = a,2^{b} = 3$，试用$a$，$b$表示$\log_{14}56$.

答案：
(2)解：因为$2^{b}=3$，所以$b=\log_{2}3$，则$\log_{2}=\frac{1}{b}$.所以$\log_{14}56=\frac{\log_{2}56}{\log_{2}14}=\frac{\log_{2}(2^{3}×7)}{\log_{2}(2×7)}=\frac{3\log_{2}2+\log_{2}7}{\log_{2}2+\log_{2}7}=\frac{3+ab}{\frac{1}{b}+a}=\frac{3+ab}{1+ab}$.