《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

3. (源自北师大版教材)求下列函数的定义域和值域：
(1)$y = 2^{3 - x}$；
(2)$y = 5^{6x + 1}$；
(3)$y = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x - 2}}$.

答案： 3.解:
(1)$y = 2^{3 - x}$的定义域为$\mathbf{R}$,值域为$(0, +\infty)$.
(2)$y = 5^{6x + 1}$的定义域为$\mathbf{R}$,值域为$(0, +\infty)$.
(3)$\frac{1}{x - 2}$中分母不等于$0$,故$x\neq2$,
所以$y = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{x - 2}}$的定义域为$(-\infty,2)\cup(2, +\infty)$,
由于$\frac{1}{x - 2}\neq0$,故$(\frac{3}{2})^{\frac{1}{x - 2}}\neq1$,
又$(\frac{3}{2})^{\frac{1}{x - 2}}＞0$,所以$y = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{x - 2}}$的值域为$(0,1)\cup(1, +\infty)$.

3. 求下列函数的定义域和值域：
(1)$y = \left(\frac{2}{3}\right)^{- |x|}$；
(2)$y = \sqrt{1 - 2^{x}}$.

答案： 3.解:
(1)定义域为$\mathbf{R}$.因为$|x|\geqslant0$,所以$y = (\frac{2}{3})^{-|x|}=(\frac{3}{2})^{|x|}\geqslant(\frac{3}{2})^{0}=1$.
故$y = (\frac{2}{3})^{-|x|}$的值域为$[1, +\infty)$.
(2)因为$1 - 2^{x}\geqslant0$,所以$2^{x}\leqslant1$.
所以$2^{x}\leqslant2^{0}$,所以$x\leqslant0$.
又因为$0 ＜ 2^{x}\leqslant1$,所以$-1\leqslant - 2^{x}＜0$,
所以$0\leqslant1 - 2^{x}＜1$.
所以函数的定义域为$(-\infty,0]$,值域为$[0,1)$.

1. 函数$y = 3^{- x}$的图象是 (B)

答案： 1.B [$\because y = 3^{-x}=(\frac{1}{3})^{x}$,$\therefore$B选项正确.]

2. (教材P118练习T1改编)函数$f(x) = \pi^{x}$与$g(x) = \left(\frac{1}{\pi}\right)^{x}$的图象关于 (C)

A.原点对称
B.$x$轴对称
C.$y$轴对称
D.直线$y = - x$对称

答案： 2.C [设点$(x,y)$为函数$f(x)=\pi^{x}$的图象上任意一点,则点$(-x,y)$为$g(x)=\pi^{-x}=(\frac{1}{\pi})^{x}$的图象上的点.因为点$(x,y)$与点$(-x,y)$关于$y$轴对称,所以函数$f(x)=\pi^{x}$与$g(x)=(\frac{1}{\pi})^{x}$的图象关于$y$轴对称.]

3. 函数$y = 2^{x},x\in[1, + \infty)$的值域是 (B)

A.$[1, + \infty)$
B.$[2, + \infty)$
C.$[0, + \infty)$
D.$(0, + \infty)$

答案： 3.B [$y = 2^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数,且$2^{1}=2$,所以$y\geqslant2$.故选B.]

4. 函数$y = a^{2x + 1} - 4(a＞0$，且$a≠1)$的图象恒过点$(-\frac{1}{2}, -3)$，值域为$(-4, +\infty)$.

答案： 4.$(-\frac{1}{2}, -3)$ $(-4, +\infty)$ [当$2x + 1 = 0$,即$x = -\frac{1}{2}$时,$a^{2x + 1}=1$为常数,此时$y = 1 - 4 = - 3$,即函数$y = a^{2x + 1}-4$的图象恒过点$(-\frac{1}{2}, -3)$.
又$a^{2x + 1}＞0$,所以$y = a^{2x + 1}-4 ＞ - 4$,
所以函数$y = a^{2x + 1}-4$的值域为$(-4, +\infty)$.]