《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[典例讲评] 【链接教材 P117 例 3】
1.比较下列各题中两个数的大小：
(1)$1.5^{2.5}$ 和 $1.5^{3.2}$；
(2)$0.6^{-1.2}$ 和 $0.6^{-1.5}$；
(3)$1.7^{0.2}$ 和 $0.9^{2.1}$；
(4)$a^{1.1}$ 与 $a^{0.3}(a＞0$，且 $a \neq 1)$.

答案： 1.解：
(1)$1.5^{2.5}$，$1.5^{3.2}$可看作函数$y = 1.5^{x}$的两个函数值，
由于底数$1.5 ＞ 1$，所以函数$y = 1.5^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数，因为$2.5 ＜ 3.2$，
所以$1.5^{2.5} ＜ 1.5^{3.2}$.
(2)$0.6^{-1.2}$，$0.6^{-1.5}$可看作函数$y = 0.6^{x}$的两个函数值，
因为函数$y = 0.6^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，且$-1.2 ＞ -1.5$，
所以$0.6^{-1.2} ＜ 0.6^{-1.5}$.
(3)由指数函数的性质，得$1.7^{0.2} ＞ 1.7^{0}=1$，$0.9^{2.1} ＜ 0.9^{0}=1$，
所以$1.7^{0.2} ＞ 0.9^{2.1}$.
(4)当$a ＞ 1$时，$y = a^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数，故$a^{-1.1} ＞ a^{0.3}$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，$y = a^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，故$a^{-1.1} ＜ a^{0.3}$.

发现规律 比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断.
(4)当底数含参数时，如比较 $a^3$，$a^2$ 的大小，要按底数 $a＞1$ 和 $0＜a＜1$ 两种情况分类讨论.

答案： 发现规律
(1)指数函数
(2)幂函数
(3)中间量

1.(多选)下列各式比较大小正确的是 (BC)

A.$1.8^{2.5}＞1.8^3$
B.$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}}＞2^{-\frac{4}{3}}$
C.$1.9^{0.3}＞0.9^{3.1}$
D.$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{3}}＞\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}}$

答案： 1.BC [对于A，
∵函数$y = 1.8^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，且$2.5 ＜ 3$，
∴$1.8^{2.5} ＜ 1.8^{3}$，故A错误；对于B，$(\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}$，
∵函数$y = 2^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，且$-\frac{2}{3} ＞ -\frac{4}{3}$，
∴$(\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}} ＞ 2^{-\frac{4}{3}}$，故B正确；对于C，
∵$1.9^{0.3} ＞ 1.9^{0}=1$，$0 ＜ 0.9^{3.1} ＜ 0.9^{0}=1$，
∴$1.9^{0.3} ＞ 0.9^{3.1}$，故C正确；对于D，
∵函数$y = (\frac{2}{3})^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递减，且$\frac{3}{4} ＞ \frac{2}{3}$，
∴$(\frac{2}{3})^{\frac{3}{4}} ＜ (\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}$，又函数$y = x^{\frac{2}{3}}$在$(0, +\infty)$上单调递增，且$\frac{2}{3} ＜ \frac{3}{4}$，
∴$(\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}} ＜ (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}$，
∴$(\frac{2}{3})^{\frac{3}{4}} ＜ (\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}} ＜ (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}$，故D错误.故选BC.]

[典例讲评] 2. (1)解不等式 $\left(\frac{1}{2}\right)^{3x - 1} \leq 2$；

答案： 2.解：
(1)
∵$2 = (\frac{1}{2})^{-1}$，
∴原不等式可以转化为$(\frac{1}{2})^{3x - 1} \leq (\frac{1}{2})^{-x}$，
∵$y = (\frac{1}{2})^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，
∴$3x - 1 \geq -x$，
∴$x \geq 0$，
故原不等式的解集是$\{x|x \geq 0\}$.

(2)已知 $a^{x^2 - 3x + 1} ＜ a^{x + 6}(a＞0$，且 $a \neq 1)$，求 $x$ 的取值范围.

答案：
(2)分情况讨论：
①当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数$f(x) = a^{x}(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$在$\mathbf{R}$上是减函数，
∴$x^{2} - 3x + 1 ＞ x + 6$，
∴$x^{2} - 4x - 5 ＞ 0$，
根据相应二次函数的图象(图略)可得$x ＜ -1$或$x ＞ 5$；
②当$a ＞ 1$时，函数$f(x) = a^{x}(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$在$\mathbf{R}$上是增函数，
∴$x^{2} - 3x + 1 ＜ x + 6$，
∴$x^{2} - 4x - 5 ＜ 0$，
根据相应二次函数的图象(图略)可得$-1 ＜ x ＜ 5$.
综上所述，当$0 ＜ a ＜ 1$时，$x ＜ -1$或$x ＞ 5$；当$a ＞ 1$时，$-1 ＜ x ＜ 5$.

发现规律 指数型不等式的解法
(1)指数型不等式 $a^{f(x)}＞a^{g(x)}(a＞0$，且 $a \neq 1)$ 的解法：
当 $a＞1$ 时，$f(x) ＞ g(x)$；
当 $0＜a＜1$ 时，$f(x) ＜ g(x)$.
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要先进行变形，将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：$1 = $$a^{0}$$(a＞0$，且 $a \neq 1)$，$a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x(a＞0$，且 $a \neq 1)$ 等.

答案： 发现规律
(1)$f(x) ＞ g(x)$ $f(x) ＜ g(x)$
(2)底数 $a^{0}$

2.已知 $f(x)=a^{-x}(a＞0$，且 $a \neq 1)$，且 $f(-2)＞f(-3)$，则 $a$ 的取值范围是(0,1).

答案： 2.(0,1) [因为$f(x) = a^{-x} = (\frac{1}{a})^{x}$在$\mathbf{R}$上为单调函数，
又$f(-2) ＞ f(-3)$，所以$f(x)$为增函数，故有$\frac{1}{a} ＞ 1$，所以$0 ＜ a ＜ 1$.]