《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[典例讲评] 2. (源自湘教版教材)某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润$y$(万元)与投资额$x$(万元)成正比，其关系如图(1)所示；B产品的利润$y$(万元)与投资额$x$(万元)的算术平方根成正比，其关系如图(2)所示.


(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数.
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元(结果精确到1万元)？

答案： 解：
(1)设投资额为$x$万元，$A$产品的利润为$f(x)$万元，$B$
产品的利润为$g(x)$万元，
由题设$f(x)=k_{1}x,g(x)=k_{2}\sqrt{x}$，
由题图可知$f(1)=\frac{1}{4}$，所以$k_{1}=\frac{1}{4}$，
又$g(4)=\frac{5}{2}$，所以$k_{2}=\frac{5}{4}$，
所以$f(x)=\frac{1}{4}x(x \geq 0),g(x)=\frac{5}{4}\sqrt{x}(x \geq 0)$。
(2)设$A$产品投入$x$万元，则$B$产品投入$(10 - x)$万元，设企业的利
润为$y$万元，
$y = f(x) + g(10 - x)=\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\sqrt{10 - x}(0 \leq x \leq 10)$，
令$\sqrt{10 - x}=t,0 \leq t \leq \sqrt{10}$，
则$y = \frac{10 - t^{2}}{4} + \frac{5}{4}t = - \frac{1}{4}(t - \frac{5}{2})^{2} + \frac{65}{16}(0 \leq t \leq \sqrt{10})$，
所以当$t = \frac{5}{2}$时，$y_{ max} = \frac{65}{16}$，此时$x = 10 - (\frac{5}{2})^{2} = \frac{15}{4} = 3.75$，
所以当$A$产品投入$3.75$万元，$B$产品投入$6.25$万元时，企业获得最
大利润，为$\frac{65}{16}$万元，约为$4$万元.

[学以致用] 2. 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入$x$(万元)与药品利润$y$(万元)存在的关系为$y = x^{\alpha}$($\alpha$为常数)，其中$x$不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为125 万元.

答案： 125 [因为投入广告费用为$3$万元时，药品利润为$27$
元，所以$27 = 3^{\alpha} \Rightarrow \alpha = 3$，即$y = x^{3}$，
当今年投入广告费用为$5$万元时，预计今年药品利润为$5^{3} = 125$(万
元)。]

3. 为了进一步增加市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产$x$(千部)手机，需另投入成本$R(x)$万元，且$R(x) = \begin{cases} 10x^2 + 100x, & 0 ＜ x ＜ 50, \\ 701x + \frac{10000}{x} - 9450, & x \geqslant 50. \end{cases}$由市场调研知此款手机售价为0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润$w(x)$(万元)关于年产量$x$(千部)的表达式；
(2)2024年年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

答案： 解：
(1)当$0 ＜ x ＜ 50$时，$w(x)=700x - (10x^{2} + 100x) -300 = -10x^{2} + 600x - 300$，
当$x \geq 50$时，$w(x)=700x - (701x + \frac{10000}{x} - 9450) - 300 = - (x+ \frac{10000}{x}) + 9150$，
$\therefore w(x)=\begin{cases} -10x^{2} + 600x - 300,0 ＜ x ＜ 50, \\ - (x + \frac{10000}{x}) + 9150,x \geq 50. \end{cases}$
(2)若$0 ＜ x ＜ 50$，$w(x)= -10(x - 30)^{2} + 8700$，
当$x = 30$时，$w(x)_{ max} = 8700$万元.
若$x \geq 50$，$w(x)= - (x + \frac{10000}{x}) + 9150$
$\leq 9150 - 2\sqrt{x · \frac{10000}{x}} = 8950$，
当且仅当$x = \frac{10000}{x}$，
即$x = 100$时，$w(x)_{ max} = 8950$万元，
因为$8950 ＞ 8700$，
所以2024年年产量为$100$(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是
$8950$万元.

[学以致用] 3. 经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用$f(x)$表示学生的注意力，$x$表示授课时间(单位：分)，实验结果表明$f(x)$与$x$有如下关系：
$f(x) = \begin{cases} 5x + 9, & 0 ＜ x ＜ 10, \\ 59, & 10 \leqslant x \leqslant 16, \\ -3x + 107, & 16 ＜ x \leqslant 30. \end{cases}$
(1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？
(2)若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？

答案： 解：
(1)由题意得，当$0 ＜ x ＜ 10$时，$f(x)=5x + 9$，此时函数
单调递增；
当$10 \leq x \leq 30$时，$f(x)= -3x + 107$，此时函数单调递减.
所以开始授课后$10$分钟，学生的注意力最集中，能维持$6$分钟.
(2)当$0 ＜ x ＜ 10$时，令$f(x) \geq 55$，即$5x + 9 \geq 55$，
解得$9.2 \leq x ＜ 10$，集中注意力时间共$10 - 9.2 = 0.8$(分钟)；
当$10 \leq x \leq 30$时，令$f(x) \geq 55$，即$-3x + 107 \geq 55$，解得$16 ＜ x \leq \frac{52}{3}$
则集中注意力时间共$\frac{52}{3} - 16 = \frac{4}{3}$(分钟)，
因为$0.8 + 6 + \frac{4}{3} = \frac{122}{15} ＜ 10$，所以老师不能及时在学生一直达到所
需注意力的状态下讲完这道题.