《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 如图是指数函数①$y = a^{x}$，②$y = b^{x}$，③$y = c^{x}$，④$y = d^{x}$的图象，则$a,b,c,d$与$1$的大小关系是 (B)

A.$a＜b＜1＜c＜d$
B.$b＜a＜1＜d＜c$
C.$1＜a＜b＜c＜d$
D.$a＜b＜1＜d＜c$

答案：
1.B [作直线$x = 1$,与四个图象分别交于$A,B,C,D$四点,则$A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d)$,由图可知$b ＜ a ＜ 1 ＜ d ＜ c$,故选B.

1. 已知$0＜m＜n＜1$，则指数函数①$y = m^{x}$，②$y = n^{x}$的图象为 (C)

答案： 1.C [由于$0 ＜ m ＜ n ＜ 1$,故排除A,B;作直线$x = 1$与两个曲线相交,交点在下面的是函数$y = m^{x}$的图象.故选C.]

2. (1)函数$f(x) = 2a^{x + 1} - 3(a＞0$，且$a≠1)$的图象恒过的定点是$(-1, -1)$.
(2)利用函数$y = f(x) = 2^{x}$的图象，作出下列各函数的图象：
①$f(x - 1)$；②$f(|x|)$；③$f(x) - 1$；④$-f(x)$；⑤$|f(x) - 1|$.

答案：
2.
(1)$(-1, -1)$ [因为$y = a^{x}(a＞0$,且$a\neq1)$的图象过点$(0,1)$,所以令$x + 1 = 0$,即$x = -1$,则$f(-1)= -1$,故$f(x)=2a^{x + 1}-3$的图象恒过点$(-1, -1)$.]
(2)解:利用指数函数$y = 2^{x}$的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象,如图所示

2. (1)函数$f(x) = a^{x - b}$的图象

如图所示，其中$a,b$为常数，则下列结论正确的是 (D)

A.$a＞1,b＜0$
B.$a＞1,b＞0$
C.$0＜a＜1,b＞0$
D.$0＜a＜1,b＜0$

答案： 2.
(1)D
(2)C [
(1)由于$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减,所以$0 ＜ a ＜ 1$,函数$f(x)$的图象可看作是由$y = a^{x}(0 ＜ a ＜ 1)$的图象向左平移得到的,则$-b＞0$,即$b ＜ 0$.故选D.

(2)要使$g(x) = 3^{x + 1} + t$的图象不经过第二象限，则$t$的取值范围为 (C)

A.$t⩽ - 1$
B.$t＜ - 1$
C.$t⩽ - 3$
D.$t⩾ - 3$

答案：
(2)
∵函数$g(x)=3^{x + 1}+t$的图象过点$(0,3 + t)$,且为增函数,要使$g(x)$的图象不经过第二象限,则$3 + t\leqslant0$,解得$t\leqslant - 3$.故选C.]