《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

2.(源自北师大版教材)判定方程$4x^{3}+x - 15 = 0$在区间$(1,2)$内解的存在性，并说明理由.

答案： 2.解:令函数$f(x)=4x^{3}+x - 15$，
　由于函数$y = 4x^{3}$，$y = x - 15$在$\mathbf{R}$上都是增函数，
　则函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上是增函数，而
　$f(1)=4×1^{3}+1 - 15=-10＜0$，$f(2)=4×2^{3}+2 - 15=19＞0$，
　因此函数$f(x)$在$(1,2)$内有零点，
　所以方程$4x^{3}+x - 15=0$在区间$(1,2)$内有解.

3. 判断方程$x+\ln x = 3$的实数解的个数.

答案：
3.解:法一:(数形结合法)令$f(x)=x - 3+\ln x$，令$f(x)=0$，
　则$\ln x=3 - x$，在同一平面直角坐标系中分别画出函数$y=\ln x$与$y=-x + 3$的图象，如图所示.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由图可知函数$y=\ln x$与$y=-x + 3$的图象只有一个交点，即函数$f(x)=x - 3+\ln x$只有一个零点.
　故原方程只有一个解.
　法二:(函数零点存在定理)设$f(x)=x - 3+\ln x$，
　因为$f(3)=\ln 3＞0$，$f(2)=-1+\ln 2=\ln\frac{2}{e}＜0$，
　所以$f(3)f(2)＜0$，
　说明函数$f(x)=x - 3+\ln x$在区间$(2,3)$内有零点.
　又$f(x)=x - 3+\ln x$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，
　所以原方程只有一个解.

［典例讲评］ 4. 函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+1,x\geq0,\\2^{x}-1,x＜0,\end{cases}$若函数$g(x)=f(x)-b$有两个零点，则实数$b$的取值范围是 ( )

A.$0 ＜ b ＜ 1$
B.$-1 ＜ b ＜ 0$
C.$b ＜ 0$
D.$-1 ＜ b ＜ 1$

答案：
4.B　[作出函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+1,x\geq0\\2^{x}-1,x＜0\end{cases}$的图象如图所示.
　　　　　　　　
　令$g(x)=0$，可得$f(x)=b$，画出直线$y = b$，可得当$-1＜b＜0$时，直线$y = b$和函数$y = f(x)$的图象有两个交点，则$g(x)$有两个零点.故选B.]

[学以致用] 【链接教材P155习题4.5T3、P160复习参考题4T4】
3. (1)已知函数$f(x)=\begin{cases}\ln x,x＞1,\\2^{x},x\leq1,\end{cases}$则函数$g(x)=f(x)+x - 3$的零点个数为 ( )

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案：
3.
(1)B　[
(1)令$g(x)=0$，得$f(x)=-x + 3$，画出函数$f(x)$和$y=-x + 3$的图象，如图所示.
　　　　　　　　
　函数$g(x)$的零点个数即$f(x)$与$y=-x + 3$的图象的交点个数，结合图象知有$2$个交点，故函数$g(x)$有$2$个零点.故选B.]

(2)若函数$y = |x^{2}-4x + 3|-a$有两个零点，则实数$a$的取值范围是$a＞1$或$a = 0$.

答案：

(2)$a＞1$或$a = 0$ [
(2)由题意知：函数$y=\vert x^{2}-4x + 3\vert$与$y = a$的图象有两个交点，作出函数$y=\vert x^{2}-4x + 3\vert$的图象，如图所示.
　　　　　　　　
　若函数$y=\vert x^{2}-4x + 3\vert$与$y = a$的图象有两个交点，则$a＞1$或$a = 0$.所以实数$a$的取值范围是$a＞1$或$a = 0$.]

1.(多选)函数$f(x)=(x^{2}-1)(x + 1)$的零点是 (AC)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 1.AC　[令$f(x)=0$，解得$x=\pm1$，所以函数的零点是$-1$和$1$.故选AC.]

2.(多选)(教材P155习题4.5T2改编)已知函数$y = f(x)$的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：

下列区间中函数$y = f(x)$一定有零点的是 (AC)

A.$(1,2)$
B.$(2,3)$
C.$(3,4)$
D.$(4,5)$

答案： 2.AC　[因为函数$y = f(x)$的图象是一条连续不断的曲线，且$f(1)＜0$，$f(2)＞0$，$f(3)＞0$，$f(4)＜0$，函数在区间$(1,2)$和$(3,4)$上一定有零点，故选AC.]

3. 已知函数$f(x)=\log_{a}(2x - 1)-1$的零点是$2$，则$a =$3.

答案： 3.3　[由题意得$f(2)=\log_{a}3 - 1=0$，解得$a = 3$.]

4. 函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2,x\leq0,\\\ln x,x＞0\end{cases}$的零点个数是 ______ .

答案： 4.2　[当$x\leq0$时，由$x^{2}-2=0$，解得$x=-\sqrt{2}$，
　当$x＞0$时，由$\ln x=0$，解得$x = 1$，
　所以函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2,x\leq0\\\ln x,x＞0\end{cases}$的零点个数是$2$.]