《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

1. (1)已知$A = \{x \mid x$是等腰三角形$\}$，$B = \{x \mid x$是等边三角形$\}$，$C = \{x \mid x$是三角形$\}$，那么$A,B,C$之间的关系是(B)
A. $A \subseteq B \subseteq C$
B. $B \subseteq A \subseteq C$
C. $C \subseteq A \subseteq B$
D. $A = B \subseteq C$
(2)已知集合$P = \{x \mid x = 2m - 1,m \in \mathbf{Z}\}$，集合$Q = \{x \mid x = 2n + 1,n \in \mathbf{Z}\}$，则$P,Q$之间的关系为P=Q.

答案：
1.
(1)B
(2)P=Q [
(1)集合A，B，C的关系如图.

(2)由于P={x|x=2(n+1)-1,n∈Z}，m，n∈Z，所以P=Q.]

问题4 对于问题1中的集合$A,B,B \subseteq A$？类比实数$a ＜ b$，那么$A,B$之间的关系如何进一步表示？提示：不是.A⊊B.

答案： 提示：不是.A⊊B.

问题5 集合$A = \{x \mid x^{2} + 1 = 0\}$中有多少个元素？提示：集合A中没有元素.

答案： 提示：集合A中没有元素.

1. 真子集

2. 空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集.

答案： 1.x∉A A⊊B ⊊ A真包含于B
2.
(1)任何 ∅
(2)空集

2. 填写下表，并回答问题：
由此猜想：含$n$个元素的集合$\{a_1,a_2,·s,a_n\}$的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？

答案： 解：
集合 集合的子集 子集的个数
∅ ∅ 1
{a} ∅，{a} 2
{a,b} ∅，{a}，{b}，{a,b} 4
{a,b,c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c} 8
由此猜想：含n个元素的集合{a₁，a₂，⋯，aₙ}的所有子集的个数是2ⁿ，真子集的个数是2ⁿ-1，非空真子集的个数是2ⁿ-2.

假设集合$A$中含有$n$个元素，则
(1)$A$的子集有2ⁿ个.
(2)$A$的非空子集有2ⁿ-1个.
(3)$A$的真子集有2ⁿ-1个.
(4)$A$的非空真子集有2ⁿ-2个.

答案：
(1)2ⁿ
(2)2ⁿ-1
(3)2ⁿ-1
(4)2ⁿ-2

2. 已知集合$M$满足：$\{1,2\} \subsetneqq M \subseteq \{1,2,3,4,5\}$，写出集合$M$所有的可能情况.解：由题意可以确定集合M中必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.

答案： 解：由题意可以确定集合M中必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.

3. 已知集合$A = \{x \mid -1 \leq x \leq 6\}$，非空集合$B = \{x \mid m - 1 \leq x \leq 2m + 1\}$，若$B \subseteq A$，求实数$m$的取值范围.
[尝试解答]
[母题探究] 若本例条件“$A = \{x \mid -1 \leq x \leq 6\}$”改为“$A = \{x \mid -1 ＜ x ＜ 6\}$”，其他条件不变，求$m$的取值范围.

答案：
3.解：因为B≠∅，且B⊆A，如图所示.

由
{
m - 1 ≥ - 1,
2m + 1 ≤ 6,
m - 1 ≤ 2m + 1,
}
解得$0≤m≤\frac{5}{2}.$
所以实数m的取值范围是${m|0≤m≤\frac{5}{2}}.$
母题探究 解：因为B≠∅，且B⊆A，如图所示.

由
{
m - 1 ＞ - 1,
2m + 1 ＜ 6,
m - 1 ≤ 2m + 1,
}
解得
{
m ＞ 0,
$m ＜ \frac{5}{2},$
m ≥ - 2,
}
即0＜m＜\frac{5}{2}，
所以m的取值范围是{m|0＜m＜\frac{5}{2}}.