《2025年金考卷中考45套汇编数学》

27. （12分）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径. 连接AC，BE，CE，∠AEC=∠ACF.
（1）若CE=CB，且∠CBE=60°，求∠BCE的度数.
（2）求证：直线CF是⊙O的切线.
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC²=aBC·CE+bAB·AE成立？
若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC²=aBC·CE+bAB·AE成立；若不存在，请说明理由.

答案：
27
(1)
∵$CE = CB$，且$\angle CBE = 60^{\circ}$，
∴$\triangle CBE$是等边三角形（依据：有一个角为$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），
∴$\angle BCE = 60^{\circ}$. (3分)
(2)证明：连接$CO$并延长交$\odot O$于点$M$，连接$EM$，如图
(1).

∵$CM$是$\odot O$的直径，
∴$\angle CEM = 90^{\circ}$（点拨：直径所对的圆周角是直角），
∴$\angle AEC + \angle AEM = 90^{\circ}$.
∵$\angle AEM = \angle ACM$，$\angle AEC = \angle ACF$，
∴$\angle ACF + \angle ACM = 90^{\circ}$，即$\angle MCF = 90^{\circ}$，
∴$OC\perp CF$.
又
∵$OC$是$\odot O$的半径，
∴直线$CF$是$\odot O$的切线. (7分)
(3)存在常数$a = 1$，$b = 1$，使等式$AC^{2}=aBC· CE + bAB· AE$成立.
证明：如图
(2)，设$AC$与$BE$交于点$N$；

∵$AC$平分$\angle BAE$，
∴$\angle EAC = \angle BAC$，
∴$\angle EBC = \angle EAC = \angle BAC = \angle BEC$，
∴$CE = CB$.
∵$\angle BCN = \angle ACB$，$\angle CBN = \angle CAB$，
∴$\triangle BCN\sim\triangle ACB$（点拨：“A”字型相似），
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CN}{CB}$，
∴$BC^{2}=AC· CN$①.
∵$\angle AEN = \angle ACB$，$\angle EAN = \angle CAB$，
∴$\triangle AEN\sim\triangle ACB$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AN}{AB}$，
∴$AE· AB = AC· AN$②，
① + ②，得$BC^{2}+AE· AB = AC· CN + AC· AN = AC(CN + AN)=AC^{2}$.
又
∵$CE = CB$，
∴$AC^{2}=BC· CE + AB· AE$，
∴$a = 1$，$b = 1$，
∴存在常数$a = 1$，$b = 1$，使等式$AC^{2}=aBC· CE + bAB· AE$ 成立. (12分)
一题多解
(2)如图，连接$OA$，$OC$，则$\angle AOC = 2\angle AEC$（依据：圆周角定理）.
∵$OA = OC$，
∴$\angle OCA = \angle OAC$，
$\angle OCA=\frac{180^{\circ}-\angle AOC}{2}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOC = 90^{\circ}-\angle AEC = 90^{\circ}-\angle ACF$，
$\angle OCF = \angle OCA + \angle ACF = 90^{\circ}$.
又
∵$OC$是$\odot O$的半径，
∴直线$CF$是$\odot O$的切线.

巧作辅助线：已知公共点证相切，连半径，证垂直
课达美摄57