《2025年金考卷中考45套汇编数学》

20. （本小题满分8分）
某工厂生产A，B，C，D四种产品. 为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质. 经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响.
下面是该工厂这四种产品的部分信息：
a. 调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图（1））和扇形统计图（图（2））.
b. 各产品单件成本的核算情况统计表及说明.
说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求调整前A产品的年产量；
（2）直接写出m，n的值；
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低.

答案： 20 $(1)$调整前四种产品的年产量之和为$40÷20\% = 200$（万件），
$\therefore$调整前$C$产品的年产量为$200×15\% = 30$（万件），
$\therefore$调整前$A$产品的年产量为$200 - 70 - 30 - 40 = 60$（万件）。
$(2)m = 25$，$n = 28$。
解法提示：$\because$方案甲的平均数与调整前的相同，
$\therefore18 + 26 + 20 + 36 = 13 + 22 + 40 + m$，解得$m = 25$。
$\because$方案乙的中位数与调整前的相同，调整前的中位数为$\frac{20 + 26}{2} = 23$（元），
$\therefore\frac{18 + n}{2} = 23$，$\therefore n = 28$。
$(3)$方案甲的总成本为$13×60 + 22×70 + 25×30 + 40×40 = 4670$（万元）。
方案乙的总成本为$16×60 + 28×70 + 18×30 + 32×40 = 4740$（万元）。
$\because4670 ＜ 4740$，
$\therefore$方案甲总成本较低。

21. （本小题满分9分）
如图（1），图（2），正方形ABCD的边长为5. 扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE=2，点E，F分别在边AD，CD上，DE=DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为$\overset{\frown}{EMF}.$
（1）如图（1），当AE=3时，求∠EMF的度数；
（2）如图（2），当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
（3）当∠EOF=150°时，求$\overset{\frown}{EMF}$的长.

答案：
21 $(1)\because AD = 5$，$AE = 3$，$\therefore DF = DE = 5 - 3 = 2$。
又$\because OE = OF = 2$，$\therefore DE = DF = OE = OF$，
$\therefore$四边形$DEOF$是菱形。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EOF = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EMF = \frac{1}{2}\angle EOF = 45^{\circ}$（依据：圆周角定理）。
$(2)\because$四边形$OEMF$为菱形，
$\therefore EM = OE$。
又$\because OE = OM$，
$\therefore EM = OE = OM$，
$\therefore \triangle OEM$是等边三角形，$\therefore \angle EOM = 60^{\circ}$。

如图$(1)$，过点$E$作$EG\perp DM$于点$G$。
巧作辅助线：欲求$DE$的长，构造其所在的$Rt\triangle DEG$
在$Rt\triangle EOG$中，$EG = OE·\sin60^{\circ} = \sqrt{3}$。
在$Rt\triangle DEG$中，$DE = \frac{EG}{\sin45^{\circ}} = \sqrt{6}$。
$(3)$当$\overset{\frown}{EMF}$是劣弧时，如图$(2)$，$\overset{\frown}{EMF}$的长为$\frac{150\pi×2}{180} = \frac{5\pi}{3}$。
当$\overset{\frown}{EMF}$是优弧时，如图$(3)$。
$\because \angle EOF = 150^{\circ}$，
$\therefore \overset{\frown}{EMF}$所对的圆心角为$360^{\circ} - 150^{\circ} = 210^{\circ}$，
$\therefore \overset{\frown}{EMF}$的长为$\frac{210\pi×2}{180} = \frac{7\pi}{3}$。
综上所述，$\overset{\frown}{EMF}$的长为$\frac{5\pi}{3}$或$\frac{7\pi}{3}$。