《2025年金考卷中考45套汇编数学》

20. 如图，四边形$ABCD$的顶点都在半圆$O$上，$AB$是半圆$O$的直径，连接$OC$，$\angle DAB + 2\angle ABC = 180^{\circ}$。
（1）求证：$OC// AD$；
（2）若$AD = 2$，$BC = 2\sqrt{3}$，求$AB$的长。

答案：
20
名师教审题
圆的综合题系列
如图，四边形$ABCD$的顶点都在半圆$O$上，$AB$是半圆$O$的直径，连接$OC$，$\angle DAB + 2 \angle ABC = 180°$.
审①：连接$BD$交$OC$于点$E$，$\angle ADB = 90°$.
审②：$\angle DAB + \angle AOC = 180°$，可证$OC // AD$；
审③：$OC \perp BD$
(1) 求证：$OC // AD$；
审④：$OE = 1$，设半径为$r$，在$ Rt \triangle OBE$和$ Rt \triangle CBE$中，利用勾股定理解题
(1) 证明：由圆心角和圆周角的关系知，$\angle AOC = 2 \angle ABC$.
由条件知，$\angle DAB + \angle AOC = 180°$，故$OC // AD$.
(5分)
(2) 如图，连接$BD$，交$OC$于点$E$.
由题意知，$\angle ADB = 90°$，$O$是$AB$的中点.
又因为$OC // AD$，所以$OC \perp BD$，且$OE$是$\triangle ABD$的中位线，
从而$OE = \frac{1}{2} AD = 1$.
设半圆的半径为$r$，则$CE = r - 1$.
由勾股定理知，$OB^2 - OE^2 = BE^2 = BC^2 - CE^2$，
即$r^2 - 1 = 12 - (r - 1)^2$，解得$r_1 = 3$，$r_2 = -2$(舍去)，
故$AB = 2r = 6$.
(10分)

21. 新课标 项目式学习 综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地。
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙，也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺。
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图（1）、图（2）所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm。
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图（3）、图（4）分别为图（1）、图（2）的“拼接单元”。

观察发现：自左向右拼接图（1）时，每增加1个图（3）所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40cm，从而$x$个这样的拼接单元拼成一行的长度为$(40x + 10)cm$。
自左向右拼接图（2）时，每增加1个图（4）所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③cm，从而$y$个这样的拼接单元拼成一行的长度为④cm。
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元。
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用。
（3）方式确定：
（i）考虑成本因素，采用图（1）方式进行密铺；
（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图（1）所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止。
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案。
方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图（5））。

根据规律，令$40x + 10\leqslant600$，解得$x\leqslant14.75$，所以每行可以先拼14个拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由$40×14 + 10 = 570$知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图（5）所示的阴影正六边形）。最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由$5×15 + 1×28 = 103$知，方案一每行的成本为103元。
由于每行宽度为$20\sqrt{3}cm$（按$\sqrt{3}\approx1.73$计算），设拼成$s$行，则$20\sqrt{3}s\leqslant740$，解得$s\leqslant\frac{37\sqrt{3}}{3}\approx21.34$，故需铺21行。由$103×21 = 2163$知，方案一所需的总成本为2163元。
方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右拼接。
类似于方案一的成本计算，令$40x + 10\leqslant740·s·s$
方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元。
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）。
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①1；②6；③60；④$(60y + 10)$；⑤126；⑥2142。

答案： 21 ①1 ②6 ③60 ④$(60y + 10)$ ⑤126 ⑥2142
(12分)