《2025年金考卷中考45套汇编数学》

24. (11 分)在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^{2} + bx - 3(a\neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(1,0)$，点 $C(2,5)$ 在抛物线上.
(1) 求抛物线的解析式.
(2) ①求点 $A$ 的坐标；
②当 $y ＜ 0$ 时，根据图象直接写出 $x$ 的取值范围：-3＜x＜1.
(3) 连接 $AC$ 交 $y$ 轴于点 $D$，在 $y$ 轴上是否存在点 $P$，使 $\triangle ACP$ 是以 $AC$ 为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点 $P$ 坐标，若不存在，请说明理由.

答案：

(1)将B(1,0),C(2,5)代入$y=ax^2+bx - 3$
得$\begin{cases}a + b - 3 = 0, \\4a + 2b - 3 = 5,\end{cases}$ (2分)
解得$\begin{cases}a = 1, \\ b = 2,\end{cases}$ (3分)
∴抛物线的解析式为$y=x^2+2x - 3$。 (4分)
(2)①当y=0时，$x^2+2x - 3 = 0$，
得$x_1=-3,x_2=1$，
∴A(-3,0)。 (6分)
②-3＜x＜1。 (7分)
(3)存在，$P_1(0,7),P_2(0,-3)$。 (11分)
解法提示：
以AC为直角边的直角三角形分点A为直角顶点，点C为直角顶点两种情况，如图。

设P(0,p)。
∵A(-3,0),C(2,5)，
∴$AP^2=3^2+p^2=9+p^2$，$CP^2=2^2+(5 - p)^2=29 - 10p+p^2$，
$AC^2=(2 + 3)^2+5^2=50$。
当点A为直角顶点时，则$AC^2+AP^2=CP^2$，
∴$50+9+p^2=29 - 10p+p^2$，解得p=-3。
当点C为直角顶点时，则$AC^2+CP^2=AP^2$，
∴$50+29 - 10p+p^2=9+p^2$，解得p=7。
综上点P的坐标为(0,7)或(0,-3)。

25. (11 分)新课标 项目式学习 活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？

蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间. 这是数学中的密铺(或镶嵌)问题. 平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？


(1) 请补全上述表格①90°；②$360°÷90°=4$；③$360°÷135°=\frac{8}{3}$；④不能.
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为 1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为 1 时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小.



观察图(1)，发现 $\odot O$ 是正三角形 $ABC$ 的内切圆，与 $AC$ 切于点 $D$，$OD\perp AD$，$∠OAD = 30^{\circ}$，$OD = 1$，在 $Rt\triangle ADO$ 中，$AD = \sqrt{3}$，则 $\triangle ABC$ 的周长为 $6\sqrt{3}$.
(2) 如图(2)，正方形 $ABCD$ 的周长为8；
(3) 如图(3)，求出正六边形的周长(写出求解过程).
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
(4) 若正多边形的周长都为 12，则正三角形的面积为$4\sqrt{3}$；正方形的面积为9；正六边形的面积为$6\sqrt{3}$.
【得出结论】
综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.

答案：

(1)①90° ②$360°÷90°=4$ ③$360°÷135°=\frac{8}{3}$ ④不能 (4分)
(2)8 (5分)
(3)如图，正六边形的内切圆⊙O与CD切于点M，连接OM,OD，

∴OM⊥CD且OM=1,∠ODM=$\frac{1}{2}$∠CDE=60°。
在Rt△MOD中，∠OMD=90°，∠ODM=60°，
$\tan60°=\frac{OM}{MD}=\frac{1}{MD}=\sqrt{3}$，
∴$MD=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$CD=2MD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$C_{正六边形ABCDEF}=6×\frac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$。 (8分)
(4)$4\sqrt{3}$ $9$ $6\sqrt{3}$ (11分)
解法提示：正三角形的周长为12，得其边长为4，则其面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$。
正方形的周长为12，得其边长为3，则其面积为9。
正六边形的周长为12，得其边长为2，
则易知其面积为$6×\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=6\sqrt{3}$。