《2025年金考卷中考45套汇编数学》

25. (本题满分12分)
如图，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点(点E与点B不重合).
【问题解决】
(1)如图(1)，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC = 30度，线段BP与线段AC的位置关系是BP⊥AC.
【问题探究】
(2)如图(2)，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP = 30°，∠PEC = 60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由.
【拓展延伸】
(3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE = 2FG，AB = 5，求AP的长.

答案：
25
(1)30 BP⊥AC (4分)
(2)2BE = EC.
方法一(旋转法):
理由:如图
(1),将△BEC绕点B逆时针旋转60°得到△BE'A,连接EE', (5分)

则△BEC≌△BE'A,∠E'BE = 60°,∠BEC = ∠BE'A,
∴AE' = EC,BE = BE',
∴△BEE'为等边三角形，
∴∠BEE' = ∠BE'E = 60°,EE' = BE.
∵∠PEC = 60°,
∴∠BE'A = ∠BEC = 120°,
∴∠BEE' + ∠BEC = 180°,∠AE'E = ∠BE'A - ∠BE'E = 60°,
∴C,E,E'三点共线. (6分)
∵∠AEP = 30°,
∴∠AEC = ∠AEP + ∠PEC = 90°,
∴∠AEE' = 90°.
在Rt△AEE'中，$\frac{EE'}{AE'}$ = cos∠AE'E = $\frac{1}{2}$, (7分)
∴$\frac{BE}{EC}$ = $\frac{EE'}{AE'}$ = $\frac{1}{2}$,
∴EC = 2BE. (8分)
(注意:将△ABE绕点B顺时针旋转60°的解题过程同方法一)
方法二(截长法):
理由:如图
(2),在线段EC上取一点M,使BE = ME,连接BM, (5分)
∵∠PEC = 60°,
∴∠EBM = ∠EMB = $\frac{1}{2}$∠PEC = 30°,
∴∠BMC = 150° = ∠AEB.
在菱形ABCD中,AB = BC,∠ABC = 60°,
∴∠ABE + ∠CBE = 60°.
又∠BCE + ∠CBE = ∠PEC = 60°,
∴∠ABE = ∠BCE, (6分)
∴△ABE≌△BCM, (7分)
∴CM = BE = ME,
∴EC = 2BE. (8分)

(3)由题意知,EF = BE,∠BEF = 120°,
∵在菱形ABCD中,AB = BC,∠ABC = 60°,
∴AC = AB = 5.分以下两种情况进行讨论.记O为AC的中点，易得AC = BC = AB = 5.
①如图
(3),当点P在线段OC上时,射线BP交AD的延长线于点K.
∵∠BEG = ∠BAD = 120°,AD//BC,
∴∠GBE = ∠AKB,
∴△BEG∽△KAB.
易得BE = 2EG,
∴$\frac{BE}{EG}$ = $\frac{KA}{AB}$ = 2.
∵AD//BC,
∴△APK∽△CPB,
∴$\frac{KA}{AB}$ = $\frac{KA}{BC}$ = $\frac{AP}{PC}$ = 2, (9分)
∴AP = $\frac{2}{3}$AC = $\frac{10}{3}$. (10分)
②如图
(4),当点P在线段AO上时,射线BP交线段AD于点K',

同①可证得△BEG∽△K'AB,
易得BE = $\frac{2}{3}$EG,
∴$\frac{BE}{EG}$ = $\frac{K'A}{AB}$ = $\frac{2}{3}$.
∵AD//BC,
∴△AK'P∽△CBP,
∴$\frac{K'A}{AB}$ = $\frac{K'A}{BC}$ = $\frac{AP}{PC}$ = $\frac{2}{3}$, (11分)
∴AP = $\frac{2}{5}$AC = 2.
综上,AP的长为$\frac{10}{3}$或2. (12分)