《2025年金考卷中考45套汇编数学》

22. （本题满分12分）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动. 九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图（1））.
初始时，矩形义卖区$ABCD$与遮阳伞投影$□ MNPQ$的平面图如图（2）所示，$P$在$AD$上，$MN = 3\ m$，$AN = 1\ m$，$AP = 2\ m$，$AB = 3\ m$，$BC = 2.5\ m$. 由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞. 在移动过程中，$□ MNPQ$也随之移动（$MN$始终在$AB$边所在直线$l$上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状. 如图（3）为$□ MNPQ$移动到$P$落在$BC$上的情形.

【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时$□ MNPQ$的位置. 设遮阳区的面积为$S\ m^{2}$，$□ MNPQ$从初始时向右移动的距离为$x\ m$.
【直观感知】（1）从初始起右移至图（3）情形的过程中，$S$随$x$的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图（3）

情

形的$x$与$S$的值.
【深入研究】（3）从图（3）情形起右移至$M$与$A$重合，求该过程中$S$关于$x$的解析式.
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，$□ MNPQ$向右移动了多少？（直接写出结果）

答案：

(1)S随着x的增大而增大. (2分)
(2)x = PQ = 3.
由平移可知，PB = 2,NB = 1,
∴AN = 3 - 1 = 2,
∴S = $S_{梯形ANPQ} = \frac{1}{2} × (2 + 3) × 2 = 5$. (5分)
(3)从题图
(3)向右移至M与点A重合之前如图. 设MQ与AD交于点E,NP与BC交于点F,PQ与BC交于点G.

由平移可知，3 ≤ x ≤ 4,MA = 4 - x,GP = x - 3.
∵四边形MNPQ是平行四边形，
∴∠P = ∠QMN = ∠PNB,
∴tanP = tan∠QMN = tan∠PNB =
$\frac{2}{1} = 2$,
∴AE = AMtan∠QMN = 2(4 - x),GF = GPtanP = 2(x - 3),
∴S = $S_{平行四边形MNPQ} - S_{\triangle MAE} - S_{\triangle PGF} = 3 × 2 - \frac{1}{2} × 2(4 - x) × (4 - x) - \frac{1}{2} × 2(x - 3) × (x - 3) = -2x^2 + 14x - 19(3 \leq x \leq 4)$. (10分)
(4)3.5 m. (12分)
解法提示：易知当0 ≤ x ＜ 3时，S随x的增大而增大.
当3 ≤ x ≤ 4时，S = -2x² + 14x - 19 = -2(x - 3.5)² + 5.5.
∵-2 ＜ 0,
∴x = 3.5时，S最大.
当x ＞ 4时，易知S随x的增大而减小.
综上所述，当x = 3.5时，S最大，即当平行四边形MNPQ向右移动了3.5 m时，遮阳区的面积最大.