《2025年金考卷中考45套汇编数学》

17. 如图，$O$ 是 $Rt \triangle ABC$ 斜边 $AC$ 边上的一点，以 $OA$ 为半径的 $\odot O$ 与边 $BC$ 相切于点 $D$. 求证：$AD$ 平分 $\angle BAC$.

答案：
17 证明：如图，连接OD.

∵⊙O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BC，即∠ODC = 90° = ∠B，
∴OD//AB，
∴∠1 = ∠3.
∵OD = OA，
∴∠1 = ∠2，
∴∠3 = ∠2，
∴AD平分∠BAC. (7分)

18. 如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长 $1.7\ km$，主塔高 $0.27\ km$，主缆可视为抛物线，主缆垂度 $0.1785\ km$，主缆最低处距离桥面 $0.0015\ km$，桥面距离海平面约 $0.09\ km$. 请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.

答案：
18 建立如图所示的平面直角坐标系. (2分)

第一步：提炼信息
易得点(0,0.0015)，(0.85,0.18)在抛物线上. (3分)
第二步：设表达式
设抛物线的表达式为y = ax² + c.
第三步：求表达式
将(0,0.0015)，(0.85,0.18)代入，得{c = 0.0015，0.85²·a + c = 0.18}，解得{a = 21/85，c = 0.0015}，
∴y = 21/85x² + 0.0015(-0.85 ≤ x ≤ 0.85). (7分)
如果建立合适的平面直角坐标系，求得相应的抛物线表达式，也可得分.
更多讲解详见《解题有招》夹册“快招7”

19. 如图，$CD$ 是 $Rt \triangle ABC$ 斜边 $AB$ 上的中线，过点 $A$，$C$ 分别作 $AE // DC$，$CE // AB$，$AE$ 与 $CE$ 相交于点 $E$. 现有以下命题：
命题1：若连接 $BE$ 交 $CA$ 于点 $F$，则 $S_{\triangle CFB} = 2S_{\triangle CEF}$.
命题2：若连接 $ED$，则 $ED \perp AC$.
命题3：若连接 $ED$，则 $ED = BC$.
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例.

答案： 19 命题1是真命题.
证明：
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD = DA = DB = 1/2AB.
∵AE//DC，CE//AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CE = AD.
∵CE//AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴EF/FB = CE/AB = 1/2，
∴S△CEF/S△CFB = EF/FB = 1/2，即S△CFB = 2S△CEF.
命题2是真命题.
证明：
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD = DA = DB = 1/2AB.
∵AE//DC，CE//AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形，
∴ED⊥AC.
命题3是真命题.
证明：
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD = DA = DB = 1/2AB.
∵AE//DC，CE//AB，
∴CE = AD，
∴CE = DB，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴ED = BC.
(任选2个命题即可，共9分)