《2025年金考卷中考45套汇编数学》

21. （本题9分）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务。

任务：
(1)问题1中的$\angle ACB =$30°，问题2中的依据是等角的补角相等。
（2）补全问题2的证明过程。
（3）如图（6），点C在线段AB上，请在图（6）中作线段AB的双关联线段CD（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）。

答案：
21
(1)30
等角的补角相等
(2)$\because \angle AFB$是$\triangle AEF$的外角，$\therefore \angle AFB = \angle EAF + \angle E$。
$\because \angle ACB$是$\triangle ACD$的外角，$\therefore \angle ACB = \angle CAD + \angle D$。
$\because \angle EAF = \angle CAD$，$\angle E = \angle D$，$\therefore \angle AFB = \angle ACB = 60^{\circ}$。
即线段$AD$与线段$BE$所在直线形成的夹角中有一个角是$60^{\circ}$。
$\because AD = BE$，$\therefore$线段$AD$是线段$BE$的双关联线段。(6分)
(3)答案不唯一，例如：
作法一：

如图，线段$CD$即为所求。(9分)
评分说明：作图正确并保留作图痕迹得$2$分，字母标注正确并写出结论得$1$分。
作法二：
同理，线段$CD$即为所求。

22. （本题13分）新情境 仿青蛙机器人运动路线 综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线。我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合。

实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm。
数学建模：如图（1），将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M。以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式。
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变。
（2）如图（1），若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为$(0,75)$，点Q在x轴的正半轴上。求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长。
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过。如图（2），水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中$\angle ABC = \angle BCD = 90^{\circ}$，$AB = 57cm$，$BC = 40cm$，$CD = 48cm$。仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物。若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物。请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）。

答案： 22
(1)第一步：提炼信息
顶点$N$的坐标为$(80,60)$。(1分)
第二步：设表达式
设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 80)^{2} + 60$(提示：顶点式)。(2分)
第三步：求表达式
由题意得，点$M$的坐标为$(160,0)$。
将点$M$的坐标$(160,0)$代入$y = a(x - 80)^{2} + 60$，
得$0 = a(160 - 80)^{2} + 60$，(3分)
解得$a = -\frac{3}{320}$，(4分)
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = -\frac{3}{320}(x - 80)^{2} + 60$。(5分)
更多讲解详见《解题有招》夹册“快招7”
(2)由题意得，过点$P$的抛物线是由
(1)中的抛物线沿直线$l$向上平移得到的，顶点为$(80,135)$。
$\therefore$其表达式为$y = -\frac{3}{320}(x - 80)^{2} + 135$。(7分)
当$y = 0$时，$-\frac{3}{320}(x - 80)^{2} + 135 = 0$，(8分)
解得$x_{1} = 200$，$x_{2} = -40$(不符合题意，舍去)，(9分)
$\therefore$点$Q$的坐标为$(200,0)$，
$\therefore$起跳点$P$与落地点$Q$的水平距离$OQ$的长为$200$cm。(10分)
(3)$6$cm。(13分)
解法提示：点$B$到起跳点的水平距离为$80$cm，点$C$到起跳点的水平距离为$80 + 40 = 120$(cm)。
对于$y = -\frac{3}{320}(x - 80)^{2} + 60$，当$x = 80$时，$y = 60$。
$60 - 57 = 3$，刚好满足距离不少于$3$cm的要求。
当$x = 120$时，$y = 45$。
$48 + 3 - 45 = 6$(cm)，若要刚好满足点$D$安全通过的要求，抛物线需向上平移$6$cm，故平台的高度为$6$cm。