《2025年金考卷中考45套汇编数学》

10. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle A=\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$BC = 3$，$AD = 1$，点$E$为边$AB$上的动点。将线段$DE$绕点$D$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$DF$，连接$FB$，$FC$，$EC$，则下列结论

错

误

的是(A)

A.$EC - ED$的最大值是$2\sqrt{5}$
B.$FB$的最小值是$\sqrt{10}$
C.$EC + ED$的最小值是$4\sqrt{2}$
D.$FC$的最大值是$\sqrt{13}$

答案：
10A 逐项分析如下，可知选A.

11. 计算：$\vert - 5\vert - (-1)=$6。

答案： 11 6

12. 如图，$AB$是$\odot O$的弦，$PB$与$\odot O$相切于点$B$，圆心$O$在线段$PA$上。已知$\angle P = 50^{\circ}$，则$\angle PAB$的大小为20$^{\circ}$。

答案：
12 20
[解析]如图，连接$OB$. $\because PB$与$\odot O$相切于点$B$，$\therefore \angle PBO = 90°$. $\because \angle P = 50°$，$\angle BOP = 40°$，$\therefore \angle PAB = \frac{1}{2} \angle BOP = 20°$.

13. 新课标 跨学科试题 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜(如图所示)。现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为$\frac{1}{3}$。

答案： 13 $\frac{1}{3}$
[解析]由题意可知，左端托盘需要再放置50g的物品，天平才能恢复平衡. 随机选取的两件物品有以下6种情况：$(10 g, 20 g)$，$(10 g, 30 g)$，$(10 g, 40 g)$，$(20 g, 30 g)$，$(20 g, 40 g)$，$(30 g, 40 g)$，其中物品总质量为50g的情况有2种，故所求概率$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

14. 新考法 代数变换推理 对于正整数$n$，根据$n$除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数$m$：若余数为0，则$m=\frac{n}{3}$；若余数为1，则$m = 2n$；若余数为2，则$m = n + 1$。这种得到$m$的过程称为对$n$进行一次“变换”。对所得的数$m$再进行一次变换称为对$n$进行二次变换，依此类推。例如，正整数$n = 4$，根据4除以3的余数为1，由$4×2 = 8$知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由$8 + 1 = 9$知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由$9÷3 = 3$知，对4进行三次变换得到的数为3。
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为2；
(2)若对正整数$n$进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的$n$的值之和为11。

答案： 14
(1)2
(2)11
[解析]
(1)根据15除以3的余数为0，由$\frac{15}{3} = 5$知，对15进行一次变换得到的数为5；根据5除以3的余数为2，由$5 + 1 = 6$知，对15进行二次变换得到的数为6；根据6除以3的余数为0，由$\frac{6}{3} = 2$知，对15进行三次变换得到的数为2.
(2)设对正整数$n$进行一次变换后得到的数是$a$. 由题意可知，$a$是正整数，对$a$进行一次变换后得到的数是1，结合题意，可知有以下3种情况：
①当$a$除以3的余数为0时，$1 = \frac{a}{3}$，即$a = 3$；
②当$a$除以3的余数为1时，$1 = 2a$，即$a = \frac{1}{2}$，不符合题意；
③当$a$除以3的余数为2时，$1 = a + 1$，即$a = 0$，不符合题意，故$a = 3$. 对于“$n ÷ 3$的结果”可分以下3种情况：
①当$n$除以3的余数为0时，$a = \frac{n}{3}$，即$\frac{n}{3} = 3$，$\therefore n = 9$；
②当$n$除以3的余数为1时，$a = 2n$，即$3 = 2n$，$\therefore n = \frac{3}{2}$，不符合题意；
③当$n$除以3的余数为2时，$a = n + 1$，即$3 = n + 1$，$\therefore n = 2$.
综上可知，满足条件的$n$的值为9和2，二者之和为$9 + 2 = 11$.
名师讲方法
解题突破
本题是代数推理题，涉及代数变换及分类讨论思想，解决本题的关键是读懂题意，理清代数变换的过程，不重不漏地列出所有情况，并结合题意对各种情况进行取舍.

15. 先化简，再求值：$\frac{2}{x^{2}+2x + 1}÷\frac{1}{x^{2}-1}$，其中$x = 3$。

答案： 15 原式$= \frac{2}{x^2 + 2x + 1} · (x^2 - 1) = \frac{2}{(x + 1)^2} · (x + 1)(x - 1) = \frac{2(x - 1)}{x + 1}$.
(6分)
当$x = 3$时，原式$= \frac{2 × (3 - 1)}{3 + 1} = 1$.
(8分)

16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$，$\triangle ABC$的顶点和点$A_{1}$均为格点（网格线的交点）。已知点$A$和$A_{1}$的坐标分别为$(-1,-3)$和$(2,6)$。
（1）在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$，并写出点$D$的坐标；
（2）以点$O$为位似中心，将$\triangle ABC$放大得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，使得点$A$的对应点为$A_{1}$，请在所给的网格图中画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。

答案：
16
(1)如图所示，点$D$即为边$AB$的中点，点$D$的坐标为$(-2, -1)$.
(4分)

(2)如图所示，$\triangle A_1B_1C_1$即为所求作的三角形.
(8分)
作法提示：连接$AA_1$，根据网格可知$OA_1 = 2OA$，即将$\triangle ABC$放大了2倍，据此描出点$B_1$，$C_1$，再连线即可.