《2025年金考卷中考45套汇编数学》

9. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle B = 45^{\circ}$，$AB = 6$，点 $E$ 在边 $BC$ 上，连接 $AE$，将 $\triangle ABE$ 沿 $AE$ 折叠，若点 $B$ 落在 $BC$ 延长线上的点 $F$ 处，则 $CF$ 的长为(D)

A.2
B.$6 - 3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2}-6$

答案： 9D　$\because$将$\triangle ABE$沿$AE$折叠后,点$B$落在$BC$延长线上的点$F$处，$\therefore AE\bot BF$，$AB=AF$，$\therefore EF=BE=AB\cos B=6\cos45^{\circ}=3\sqrt{2}$，$\therefore BF=6\sqrt{2}$；$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\therefore BC=AB=6$，$\therefore CF=BF - BC=6\sqrt{2}-6$。

10. 新课标 跨学科试题 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化. 研究发现，某款轮胎的摩擦系数 $\mu$ 与车速 $v(km/h)$ 之间的函数关系如图所示. 下列说法中

错

误

的是(C)

A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 0.9
B.当 $0\leq v\leq60$ 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于 0.71，车速应不低于 60 km/h
D.若车速从 25 km/h 增大到 60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小 0.04

答案：
10C
观察图象的走向趋势——说明摩擦系数随车速的增大而减小。B（$\surd$）
摩擦系数不低于0.71时，对应这段图象，可知车速不高于60km/h。C（$×$）
车速从25km/h增大到60km/h，摩擦系数从0.75减小到0.71，减小了0.04。D（$\surd$）

更多讲解详见《解题有招》夹册“快招2”

11. 请写出一个使 $\sqrt{5 - x}$ 在实数范围内有意义的 $x$ 的值：5.

答案： 11. 5(答案不唯一,满足$x\leq5$即可)

12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取 20 株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为 $s_{甲}^{2}=3.6$，$s_{乙}^{2}=5.8$，则这两种小麦长势更整齐的是甲(填“甲”或“乙”).

答案： 12. 甲

13. 观察 $2x$，$4x^{2}$，$6x^{3}$，$8x^{4}$，…，根据这些式子的变化规律，可得第 $n$ 个式子为$2nx^{n}$.

答案： 13. $2nx^{n}$
[解析]这些式子可表示为$2×1x$，$2×2x^{2}$，$2×3x^{3}$，$2×4x^{4}$，…，则第$n$个式子为$2nx^{n}$。

14. 新课标 数学文化 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”. 如图是研究“割圆术”时的一个图形，$\overset{\frown}{AB}$ 所在圆的圆心为点 $O$，四边形 $ABCD$ 为矩形，边 $CD$ 与 $\odot O$ 相切于点 $E$，连接 $BE$，$\angle ABE = 15^{\circ}$，连接 $OE$ 交 $AB$ 于点 $F$. 若 $AB = 4$，则图中阴影部分的面积为$\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$.

答案： 14. $\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$
快招解题法 试题秒解 考场速用
第一步:选定使用的方法(分割求差法)
由图形可知，$S_{阴影部分}=S_{扇形AOE}-S_{\triangle AOF}$。
第二步:求涉及的扇形的半径、圆心角；求涉及的三角形的边长、高
$\because CD$与$\odot O$相切于点$E$，$\therefore OE\bot CD$。$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB// CD$，$\therefore OE\bot AB$，$\therefore AF = FB = 2$。由圆周角定理，得$\angle AOE=2\angle ABE=30^{\circ}$，$\therefore OF=\sqrt{3}AF=2\sqrt{3}$，$OA = 2AF = 4$。
第三步:求阴影面积
$\therefore S_{阴影部分}=S_{扇形AOE}-S_{\triangle AOF}=\frac{30\pi×4^{2}}{360}-\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$。
更多讲解详见《解题有招》夹册“快招8”

15. 新考法 定义“反直角三角形” 定义：有两个内角的差为 $90^{\circ}$ 的三角形叫做“反直角三角形”. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 5$，$BC = 8$，点 $P$ 为边 $BC$ 上一点，若 $\triangle APC$ 为“反直角三角形”，则 $BP$ 的长为$\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$.

答案：
15. $\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$
[解析]如图
(1)，过点$A$作$AH\bot BC$于点$H$。$\because AB = AC = 5$，$BC = 8$，$\therefore\angle B=\angle C$，$BH = HC = 4$，$\therefore AH = 3$。

当$\angle CAP$为钝角时，如图
(2)，过点$A$作$AG\bot AC$，交$BC$于点$G$。若$\triangle APC$是“反直角三角形”，则$\angle PAC=90^{\circ}+\angle C$或$\angle PAC=90^{\circ}+\angle APC$，$\therefore\angle PAG=\angle C$或$\angle PAG=\angle APC$，易知这两种情况均不成立。

当$\angle APC$为钝角时，若$\triangle APC$是“反直角三角形”，则$\angle APC=90^{\circ}+\angle C$或$\angle APC=90^{\circ}+\angle PAC$。故分两种情况讨论。
当$\angle APC=90^{\circ}+\angle C$时 当$\angle APC=90^{\circ}+\angle PAC$时

如图
(4)，$\because\angle APC=90^{\circ}+\angle2$，$\therefore\angle1=\angle2$。过点$P$作$PD\bot AC$于点$D$，则$PD = PH$（提示：角平分线的性质）。
如图
(3)，$\because\angle APC=\angle BAP+\angle B$，$\angle B=\angle C$，$\therefore\angle BAP=90^{\circ}$。$\because\cos B=\frac{AB}{BP}=\frac{BH}{AB}$，$\therefore\frac{5}{BP}=\frac{4}{5}$，
$\therefore BP=\frac{25}{4}$。
又$AP = AP$，$\therefore Rt\triangle AHP\cong Rt\triangle ADP$，$\therefore AD = AH = 3$，$\therefore CD=AC - AD=5 - 3=2$。
$\because\cos C=\frac{CD}{CP}=\frac{CH}{AC}$，$\therefore\frac{2}{CP}=\frac{4}{5}$，$\therefore CP=\frac{5}{2}$，$\therefore BP=8-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}$。
综上可知，$BP$的长为$\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$。

16. （10 分）（1）计算：$\sqrt[3]{8}+(\pi - 1)^{0}-\sqrt{3}×\sqrt{3}$；
（2）化简：$(x + 1)^{2}-x(x + 2)$.

答案： 16.
(1)原式$=2 + 1 - 3$
$=0$。
(2)原式$=x^{2}+2x + 1 - x^{2}-2x$
$=1$。