《2025年金考卷中考45套汇编数学》

18. 解不等式组：$\begin{cases}2(x + 1) ＞ x - 1,\frac{x + 5}{2}＞3x.\end{cases}$

答案： 18 解不等式$2(x+1)＞x-1$，得$x＞-3$；(2分)
解不等式$\frac{x+5}{2}＞3x$，得$x＜1$。(4分)
故原不等式组的解集为$-3＜x＜1$。(5分)

19. 已知$a + b - 3 = 0$，求代数式$\frac{4(a - b)+8b}{a^{2}+2ab + b^{2}}$的值.

答案： 19
∵$a+b-3=0$，
∴$a+b=3$，
∴$\frac{4(a-b)+8b}{a^{2}+2ab+b^{2}}=\frac{4a-4b+8b}{(a+b)^{2}}=\frac{4a+4b}{(a+b)^{2}}=\frac{4(a+b)}{(a+b)^{2}}=\frac{4}{a+b}=\frac{4}{3}$。(5分)

20. 如图，在$\triangle ABC$中，$D,E$分别为$AB,AC$的中点，$DF\perp BC$，垂足为$F$，点$G$在$DE$的延长线上，$DG = FC$.
（1）求证：四边形$DFCG$是矩形；
（2）若$\angle B = 45^{\circ}$，$DF = 3$，$DG = 5$，求$BC$和$AC$的长.

答案： 20
(1)证明：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴$DG // FC$。
又$DG=FC$，
∴四边形DFCG是平行四边形。
∵$DF \bot BC$，
∴$\angle DFC=90^{\circ}$，
∴四边形DFCG是矩形（依据：有一个角是直角的平行四边形是矩形）。(3分)
(2)
∵$\angle B=45^{\circ}$，$\angle DFB=90^{\circ}$，$DF=3$，
∴$BF=3$，
∴$BC=BF+FC=BF+DG=3+5=8$。(4分)
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=4$，$AC=2CE$，
∴$EG=DG-DE=5-4=1$。
∵四边形DFCG是矩形，
∴$CG=DF=3$，
∴$CE=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，
∴$AC=2CE=2\sqrt{10}$。(6分)

21. 在平面直角坐标系$xOy$中，函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象经过点$(1,3)$和$(2,5)$.
（1）求$k,b$的值；
（2）当$x ＜ 1$时，对于$x$的每一个值，函数$y = mx(m\neq0)$的值既小于函数$y = kx + b$的值，也小于函数$y = x + k$的值，直接写出$m$的取值范围.

答案：
21
(1)将$(1,3)$，$(2,5)$分别代入$y=kx+b$，
得$\begin{cases}k+b=3\\2k+b=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=1\end{cases}$。(3分)
(2)$m$的取值范围为$2 \leqslant m \leqslant 3$。(5分)
解法提示：由题可知，当$x＜1$时，对于x的每一个值，函数$y=mx(m \neq 0)$的值既小于函数$y=2x+1$的值，也小于函数$y=x+2$的值。
令$2x+1=x+2$，解得$x=1$，此时$y=3$，
即函数$y=2x+1$与函数$y=x+2$的图象交于点$(1,3)$，画出大致图象进行判断。
①当$m＜0$时，大致图象如图
(1)所示，可知此时存在$x＜1$且$mx＞2x+1$，$mx＞x+2$的情况，不满足题意。

②当$m＞0$时，
若$0＜m＜2$，大致图象如图
(2)所示，可知此时存在$x＜1$且$mx＞2x+1$的情况，不满足题意。

随着$m$值的增大，函数$y=mx$的图象绕点$O$逆时针旋转，当$m=2$时，大致图象如图
(3)所示，可知此时满足题意。
当函数$y=mx$的图象经过点$(1,3)$时，$m=3$，大致图象如图
(4)所示，可知此时满足题意。


分析可知，$m$的取值范围是$2 \leqslant m \leqslant 3$。

22. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产. 为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图（1））：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条. 他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图（2）），其头部高、胸腹高与尾部高的比是$1:1:2$. 已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图（1）中$BC$的长是门条长的$\frac{5}{9}$，$AB,CD$的长均等于胸腹高. 求这只风筝的骨架的总高.

答案：
22

设胸腹高为$x$cm，门条长为$y$cm， （1分）
由题意，得$\begin{cases} \dfrac{5}{9}y + 2x = y \\ 10 + y = 5x \end{cases}$， （3分）
解得$\begin{cases} x = 20 \\ y = 90 \end{cases}$， （5分）
$\therefore$胸腹高为$20$cm.
$\because$头部高、胸腹高与尾部高的比是$1:1:2$，
$\therefore$总高为$20×(1 + 1 + 2) = 80$(cm). （6分）
答：这只风筝骨架的总高为$80$cm. （6分）