《2025年金考卷中考45套汇编数学》

23. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛. 对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析. 下面给出了部分信息.
a. 甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：

b. 丙运动员10次测试成绩：
12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c. 四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：

(1)表中$m$的值为12.5.
(2)表中$n$＜0.056(填“＞”“=”或“＜”).
(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为乙、丁、甲、丙.

答案： 23
(1)12.5
(2)＜
(3)乙、丁、甲、丙

24. 如图，过点$P$作$\odot O$的两条切线，切点分别为$A,B$，连接$OA,OB,OP$，取$OP$的中点$C$，连接$AC$并延长，交$\odot O$于点$D$，连接$BD$.
（1）求证：$\angle ADB=\angle AOP$.
（2）延长$OP$交$DB$的延长线于点$E$. 若$AP = 10$，$\tan\angle AOP=\frac{1}{2}$，求$DE$的长.

答案：
24
(1)证明：
∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°(依据：切线的性质)。
又
∵OP=OP，OA=OB，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠AOB。
又
∵∠ADB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠ADB=∠AOP。(3分)
(2)如图，延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF=90°(依据：直径所对的圆周角是直角)。
∵在Rt△OAP中，tan∠AOP=$\frac{1}{2}$，AP=10，
∴AO=2AP=20，
∴OP=$\sqrt{AP^{2}+AO^{2}}=\sqrt{10^{2}+20^{2}}=10\sqrt{5}$，AF=2AO=40。
∵C是OP的中点，∠OAP=90°，
∴AC=OC=$\frac{1}{2}$OP=$5\sqrt{5}$，
∴∠DAF=∠AOP，
∴cos∠DAF=cos∠AOP，
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{AO}{OP}$，即$\frac{AD}{40}=\frac{20}{10\sqrt{5}}$，
∴AD=$16\sqrt{5}$。
∵∠CDE=∠COA，∠DCE=∠OCA，
∴△CDE∽△COA，
∴$\frac{DE}{OA}=\frac{CD}{CO}$，即$\frac{DE}{20}=\frac{16\sqrt{5}-5\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$，
∴DE=44。(6分)