《2025年金考卷中考45套汇编数学》

22. （10 分）在二次函数 $y = ax^{2}+bx - 2$ 中，$x$ 与 $y$ 的几组对应值如下表所示.

（1）求二次函数的表达式.
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象.
（3）将二次函数的图象向右平移 $n$ 个单位长度后，当 $0\leq x\leq3$ 时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为 5，请直接写出 $n$ 的值.

答案：
22.
(1)把$(-2,-2)$和$(1,1)$代入$y = ax^{2}+bx - 2$，
得$\begin{cases}4a - 2b - 2 = -2\\a + b - 2 = 1\end{cases}$
解方程组，得$\begin{cases}a = 1\\b = 2\end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y = x^{2}+2x - 2$。
(2)将$y = x^{2}+2x - 2$配方，得$y=(x + 1)^{2}-3$，
$\therefore$二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
画出图象如图
(1)所示。

(3)$4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$。
解法提示:平移后抛物线对应的表达式为$y=(x - n)^{2}+2(x - n)-2$，顶点坐标为$(-1 + n,-3)$。
当$x = 0$时，$y=n^{2}-2n - 2$。
当$x = 3$时，$y=(3 - n)^{2}+2(3 - n)-2=n^{2}-8n + 13$。
当$0＜n＜1$时，最低点和最高点如图
(2)所示，

则$n^{2}-8n + 13-(n^{2}-2n - 2)=5$，解得$n=\frac{5}{3}$(舍去)。
当$1\leq n＜\frac{5}{2}$时，最低点和最高点如图
(3)所示，

则$n^{2}-8n + 13-(-3)=5$，
解得$n_1=4+\sqrt{5}$(舍去)，$n_2=4-\sqrt{5}$；
当$\frac{5}{2}\leq n＜4$时，最低点和最高点如图
(4)所示，

则$n^{2}-2n - 2-(-3)=5$，
解得$n=1+\sqrt{5}$，$n=1-\sqrt{5}$(舍去)。
当$n\geq4$时，最低点和最高点如图
(5)所示，

则$n^{2}-2n - 2-(n^{2}-8n + 13)=5$，解得$n=\frac{10}{3}$(舍去)。
综上可知，$n$的值为$4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$。