《2025年金考卷中考45套汇编数学》

23. (本题满分7分)
为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛.竞赛结束后，从竞赛成绩(单位：分.满分100分.均不低于60分)中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：

其中B组共有15个成绩，从高到低分别为
89 88 88 86 85 85 85 85 84 83 81 81 80 80 80
根据以上信息，解答下列问题：
(1)B组15个成绩的平均数为84分；
(2)本次抽取的所有成绩的个数为50，本次抽取的所有成绩的中位数为80分；
(3)学校决定对本次竞赛成绩为90分及以上的学生进行奖励，若该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数.

答案： 23
(1)84
　　解法提示：为计算简便，可将B组数据的基准定为80，则B组数据的平均数为80 + 1/15 × (9 + 8 × 2 + 6 + 5 × 4 + 4 + 3 + 1 × 2) = 84.
(2)50　80
(3)500 × 24% = 120(人).
　　答：估计本次竞赛的获奖人数为120人.

24. （本题满分8分）
如图，点O在$\triangle ABC$的边AC上，以OC为半径的$\odot O$与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为$\odot O$的直径，FD与AC相交于点G，$\angle F = 45^{\circ}$.
（1）求证：$AB = AC$；
（2）若$\sin A = \frac{3}{5}$，$AB = 8$，求DG的长.

答案：
24
(1)证明：如图，连接OD.
　　
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
∵∠F = 45°，
∴∠DOE = 2∠F = 90°，即EF⊥OD，
∴AB//EF，
∴∠OEC = ∠B.
∵OE = OC，
∴∠C = ∠OEC，
∴∠B = ∠C，
∴AB = AC.
(2)
∵AB = 8，AB = AC，
∴AC = 8.
　　设⊙O的半径为r，则AO = 8 - r，OD = r.
∵∠ADO = 90°，sinA = 3/5，
∴OD/AO = r/(8 - r) = 3/5，
∴r = 3，
∴OF = OD = 3，AO = 5，
∴AD = 4，DF = 3√2.
∵EF//AB，
∴△OFG ∽ △ADG（点拨： “X型” 相似），
∴FG/DG = OF/AD = 3/4，
∴DG = 4/7DF = 12√2/7.