《2025年金考卷中考45套汇编数学》

23. (本题满分12分)新考法 定义“平行六边形”“菱六边形”
【平行六边形】如图(1)，在凸六边形$ABCDEF$中，满足$AB// DE$，$BC// EF$，$CD// FA$，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”. 其中$AB$与$DE$，$BC$与$EF$，$CD$与$FA$叫做“主对边”；$\angle A$和$\angle D$，$\angle B$和$\angle E$，$\angle C$和$\angle F$叫做“主对角”；$AD$，$BE$，$CF$叫做“主对角线”.
(1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”.

【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”.
(2)如图(2)，已知平行六边形$OPQRST$满足$OP = PQ = QR = RS$.
求证：平行六边形$OPQRST$是菱六边形.
(3)如图(3)是一张边长为3，4，6的三角形纸片. 剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形. 请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长.

答案：

(1)从上到下依次填写 错误 正确 错误 (3分)
(2)证明：如图
(1)，过点Q作QG//PO，且使QG = PO，连接GO,GS.
∵QG//PO，且QG = PO，
∴四边形POGQ是平行四边形，
∴PQ//GO,PQ = GO.
又
∵PQ//TS,
∴ST//GO.
∵PO//QG,PO//RS,QG = PO,PO = RS,
∴QG//RS,QG = RS,
∴四边形QGSR是平行四边形，
∴QR//GS,GS = QR.
又
∵QR//OT,
∴GS//OT,
∴四边形GSTO是平行四边形，
∴OT = GS = QR,ST = GO = PQ,

∴PQ = QR = RS = ST = OT = PO,
∴平行六边形OPQRST是菱六边形. (7分)
(3)设边长为3, 4, 6的三角形纸片的三个顶点分别为H, I, J, 菱六边形KLMNUV如图
(2)所示，HI = 3,HJ = 4,IJ = 6.

设KL = LM = MN = NU = UV = VK = x.
∵KL//IJ,VU//HJ,
∴△HKL∽△HIJ,△IVU∽△IJH,
∴$\frac{HK}{HI} = \frac{HL}{HJ} = \frac{KL}{IJ} = \frac{VU}{HJ}$,
即$\frac{HK}{3} = \frac{HL}{4} = \frac{x}{6} = \frac{IV}{3} = \frac{VU}{4}$,
∴HK = $\frac{x}{2}$,HL = $\frac{2x}{3}$,IV = $\frac{3x}{4}$,
∴$\frac{x}{2} + x + \frac{3x}{4} = 3$, 解得x = $\frac{4}{3}$,
∴△HKL的三边长分别为KH = $\frac{2}{3}$,HL = $\frac{8}{9}$,KL = $\frac{4}{3}$. (12分)
同理可求得△IVU的三边长分别为IV = 1,IU = 2,VU = $\frac{4}{3}$.
△JMN的三边长分别为NJ = $\frac{8}{3}$,JM = $\frac{16}{9}$,MN = $\frac{4}{3}$.
(三个三角形的三边长求出任意一个即可得满分)