《2025年金考卷中考45套汇编数学》

21. （本小题10分）已知$AB$与$\odot O$相切于点$C$，$OA=OB$，$\angle AOB=80^{\circ}$，$OB$与$\odot O$相交于点$D$，$E$为$\odot O$上一点。
（Ⅰ）如图（1），求$\angle CED$的大小；
（Ⅱ）如图（2），当$EC// OA$时，$EC$与$OB$相交于点$F$，延长$BO$与$\odot O$相交于点$G$，若$\odot O$的半径为3，求$ED$和$EG$的长。

答案：
21 (I) 如图
(1), 连接 OC.
∵ AB 与 ⊙O 相切于点 C,
∴ OC ⊥ AB. 又 OA = OB,
∴ OC 平分 ∠AOB (依据: 等腰三角形“三线合一”),
∴ ∠COB = $\frac{1}{2} ∠AOB$.
∵ ∠AOB = 80°,
∴ ∠COB = 40°. 在 ⊙O 中, ∠CED = $\frac{1}{2} ∠COD$ (依据: 圆周角定理),
∴ ∠CED = 20°. (5分)

(II) 如图
(2), 连接 OC. 同 (I), 得 ∠CED = 20°.
∵ EC // OA,
∴ ∠EFG = ∠AOB = 80°.
∵ ∠EFG 为 △DEF 的一个外角,
∴ ∠EDF = ∠EFG - ∠FED = 60°. 根据题意, 得 DG 为 ⊙O 的直径,
∴ ∠GED = 90°.
∵ ⊙O 的半径为 3,
∴ DG = 6. 在 Rt △GED 中, $\cos ∠EDG = \frac{ED}{DG}$, $\sin ∠EDG = \frac{EG}{DG}$,
∴ ED = 6 × $\cos 60° = 3$, EG = 6 × $\sin 60° = 3\sqrt{3}$. (10分)

22. （本小题10分）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑$AB$的高度（如图（1））。某学习小组设计了一个方案：如图（2）所示，点$A$，$E$，$C$依次在同一条水平直线上，$CD\perp AC$，$EF\perp AC$，且$CD=EF=1.7\ m$。在$D$处测得世纪钟建筑顶部$B$的仰角为$22^{\circ}$，在$F$处测得世纪钟建筑顶部$B$的仰角为$31^{\circ}$，$CE=32\ m$。根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑$AB$的高度（结果取整数）。
参考数据：$\tan 22^{\circ}\approx 0.4$，$\tan 31^{\circ}\approx 0.6$。

答案：
22 如图, 延长 DF 与 AB 相交于点 G. 根据题意, 可得 DG // CA. 则有 ∠GDB = 22°, ∠GFB = 31°, ∠DGB = 90°, AG = EF = CD = 1.7, DF = CE = 32. 在 Rt △FGB 中, $\tan ∠GFB = \frac{GB}{GF}$,
∴ GF = $\frac{GB}{\tan 31°}$ (3分) 在 Rt △DGB 中, $\tan ∠GDB = \frac{GB}{GD}$,
∴ GD = $\frac{GB}{\tan 22°}$ (5分)
∵ GF + DF = GD,
∴ $\frac{GB}{\tan 31°} + 32 = \frac{GB}{\tan 22°}$,
∴ GB = $\frac{32 × \tan 22° × \tan 31°}{\tan 31° - \tan 22°} ≈ \frac{32 × 0.4 × 0.6}{0.6 - 0.4} = 38.4$, (9分)
∴ AB = AG + GB = 1.7 + 38.4 ≈ 40. 答: 世纪钟建筑 AB 的高度约为 40 m. (10分)