《2025年金考卷中考45套汇编数学》

23. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上. 为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 经测得景点C位于景点B的北偏东$60^{\circ}$方向上，位于景点A的北偏东$30^{\circ}$方向上，景点B位于景点D的南偏西$45^{\circ}$方向上. 已知$AB = 800m$.
（1）求$\angle ACB$的度数；
（2）求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号）

答案：
23.
(1)如图,由题意可得∠CBE = 60°,∠CAF = 30°,∠BDM = 45°,BM⊥DM,BE//AF//DM,

∴∠BCM = ∠CBE = 60°,∠ACM = ∠CAF = 30°,
∴∠ACB = ∠BCM - ∠ACM = 60° - 30° = 30°. (5分)
(2)
∵∠CBE = 60°,
∴∠CBM = 90° - ∠CBE = 90° - 60° = 30°.由
(1)得∠ACB = 30°,
∴∠ABC = ∠ACB = 30°.又
∵AB = 800,
∴AC = AB = 800.在Rt△ACM中,sin∠ACM = $\frac{AM}{AC}$,cos∠ACM = $\frac{CM}{AC}$,
∴AM = AC·sin∠ACM = 800sin30° = 800×$\frac{1}{2}$ = 400,CM = AC·cos∠ACM = 800cos30° = 800×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 400√3,
∴BM = BA + AM = 800 + 400 = 1200.
∵∠BDM = 45°,BM⊥DM,
∴DM = BM = 1200,
∴DC = DM - CM = 1200 - 400√3,
∴景点C与景点D之间的距离为(1200 - 400√3)m. (9分)

24. 新考法 定义对偶函数 我们约定：当$x_{1}$，$y_{1}$，$x_{2}$，$y_{2}$满足$(x_{1}+y_{2})^{2}+(x_{2}+y_{1})^{2}=0$，且$x_{1}+y_{1}\neq0$时，称点$(x_{1},y_{1})$与点$(x_{2},y_{2})$为一对“对偶点”. 若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”. 请你根据该约定，解答下列问题：
(1)

请

你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”).
①函数$y=\frac{k}{x}$(k是非零常数)的图象上存在无数对“对偶点”；(√)
②函数$y = -2x + 1$一定不是“对偶函数”；(√)
③函数$y = x^{2}+x - 1$的图象上至少存在两对“对偶点”.(×)
(2)若关于x的一次函数$y = k_{1}x + b_{1}$与$y = k_{2}x + b_{2}$($b_{1}$，$b_{2}$都是常数，且$b_{1}· b_{2}＜0$)均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和.
(3)若关于x的二次函数$y = 2ax^{2}-1$是“对偶函数”，求实数a的取值范围.

答案：
24.
(1)①√②√③× (3分)
(2)由题意可得$x_2 = -y_1$, $y_2 = -x_1$, 点$(x_1, y_1)$与点$(-y_1, -x_1)$且$x_1 \neq -y_1$是一对“对偶点”. 由于$y = k_1x + b_1$是“对偶函数”, 则其图象上必存在一对“对偶点”.从而有$\begin{cases} y_1 = k_1x_1 + b_1 \\ -x_1 = -k_1y_1 + b_1 \end{cases}$,两式相减可得$k_1 = 1$,同理可得$k_2 = 1$.所以两个一次函数为$y = x + b_1$, $y = x + b_2$, 由于$b_1$, $b_2$都是常数, 且$b_1 · b_2 ＜ 0$,故此两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形, 如下图所示.

求得其面积之和$S = \frac{1}{2}(b_1^2 + b_2^2)$. (6分)
(3)方法一：由题意可得$a \neq 0$, 且$x_1 \neq -y_1$时, 有$\begin{cases} y_1 = 2ax_1^2 - 1 \\ -x_1 = 2a(-y_1)^2 - 1 \end{cases}$
① - ②, 得$x_1 - y_1 = \frac{1}{2a}$,将$y_1 = x_1 - \frac{1}{2a}$代入①, 整理可得$2ax_1^2 - x_1 + \frac{1}{2a} - 1 = 0$,此关于$x_1$的一元二次方程必有实数根,由于$\Delta = 1 - 8a(\frac{1}{2a} - 1) = -3 + 8a = 0$时, $x_1 = -y_1 = \frac{2}{3}$(不符合题意).从而必有$\Delta = -3 + 8a ＞ 0$, 解得$a ＞ \frac{3}{8}$. (10分)
方法二：由题意可得$a \neq 0$, 由于函数$y = 2ax^2 - 1$是“对偶函数”, 所以它的图象上一定存在一对“对偶点”点$A(x_1, y_1)$与点$B(-y_1, -x_1)$且$x_1 \neq -y_1$.不妨设经过$A$, $B$两点的直线（一次函数）的解析式为$y = kx + b$, 由题意可得$k = 1$, $b = y_1 - x_1$, 即$y = x + y_1 - x_1$.联立$\begin{cases} y = 2ax^2 - 1 \\ y = x + y_1 - x_1 \end{cases}$,① - ②, 得$2ax^2 - x + x_1 - y_1 - 1 = 0$.由直线$AB$与二次函数图象必有两个不同交点,故必有$\Delta = 1 - 8a(x_1 - y_1 - 1) ＞ 0$(*).$\begin{cases} y_1 = 2ax_1^2 - 1 \\ ③ - ④, 得 2a(x_1 - y_1) = 1, 将其 \end{cases}$代入(*),可得$\Delta = 1 - 4 + 8a ＞ 0$, 解得$a ＞ \frac{3}{8}$. (10分)