《2025年金考卷中考45套汇编数学》

9. 若$\sqrt{3x - 3}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围是x ≥ 1.

答案： 9 $x \geqslant 1$

10. 分解因式：$7m^{2}-28=$7(m+2)(m-2).

答案： 10 $7(m+2)(m-2)$

11. 方程$\frac{2}{x - 6}+\frac{1}{x}=0$的解为x=2.

答案： 11 $x=2$
【解析】方程两边同乘$x(x-6)$，得$2x+x-6=0$，解得$x=2$。检验：当$x=2$时，$x(x-6) \neq 0$（点拨：解完分式方程需进行检验），
∴$x=2$是原分式方程的解。

12. 某地区七年级共有2000名男生. 为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：$kg/m^{2}$），并根据七年级男生体质健康标准整理如下：

根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是1500.

答案： 12 1500
【解析】$2000 × \frac{75}{100}=1500$。

13. 能说明命题“若$a^{2}＞4b^{2}$，则$a ＞ 2b$”是假命题的一组实数$a,b$的值为$a=$-3，$b=$1.

答案： 13 -3 1(答案不唯一)

14. 新课标 跨学科试题如图，$\odot O$是地球的示意图，其中$AB$表示赤道，$CD,EF$分别表示北回归线和南回归线，$\angle DOB=\angle FOB = 23.5^{\circ}$. 夏至日正午时，太阳光线$GD$所在直线经过地心$O$，此时点$F$处的太阳高度角$\angle IFH$(即平行于$GD$的光线$HF$与$\odot O$的切线$FI$所成的锐角)的大小为43$^{\circ}$.

答案：
14 43
【解析】
∵$HF // GO$，$\angle DOF=2 × 23.5^{\circ}=47^{\circ}$，
∴$\angle OFH=180^{\circ}-\angle DOF=133^{\circ}$。
∵$FI$是$\odot O$的切线，
∴$OF \bot FI$，即$\angle OFI=90^{\circ}$，
∴$\angle IFH=\angle OFH-\angle OFI=43^{\circ}$。
一题多解
如图，延长$FI$交$DG$于点$P$。
∵$FI$是$\odot O$的切线，
∴$OF \bot FI$，即$\angle OFI=90^{\circ}$。又$\angle POF=2 × 23.5^{\circ}=47^{\circ}$，
∴$\angle OPF=90^{\circ}-47^{\circ}=43^{\circ}$。
∵$HF // GO$，
∴$\angle IFH=\angle OPF=43^{\circ}$。

15. 如图，在正方形$ABCD$中，点$E$在边$CD$上，$CF\perp BE$，垂足为$F$. 若$AB = 1$，$\angle EBC = 30^{\circ}$，则$\triangle ABF$的面积为$\frac{3}{8}$.

答案：
15 $\frac{3}{8}$
【解析】如图，过点$F$作$FG \bot AB$于点$G$，则$FG // BC$，
∴$\angle GFB=\angle EBC=30^{\circ}$。由题意知$BC=AB=1$，
∴$BF=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$GF=\frac{\sqrt{3}}{2}BF=\frac{3}{4}$，
∴$S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}AB · FG=\frac{1}{2} × 1 × \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$。

16. 某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给$A,B,C,D$四家经销商销售. 当一家经销商将分配到的$n$台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润(单位：万元)与$n$的对应关系如下：

(1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商B分配2台设备(填“A”“B”“C”或“D”)；
(2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为157万元.

答案：
16
(1)B
(2)157
【解析】
(1)由题意可知四个经销商均至少分得1台设备，故可观察四个经销商从$n=1$到$n=2$时，利润的变化情况，将其表示如下：
A：$40 \stackrel{+20}{\longrightarrow} 60$
B：$30 \stackrel{+25}{\longrightarrow} 55$
C：$20 \stackrel{+20}{\longrightarrow} 40$
D：$14 \stackrel{+24}{\longrightarrow} 38$
可知利润增量最多的是B，故应向经销商B分配2台设备。
(2)观察四个经销商的数据，将利润增量标注如下：
A：$40 \stackrel{+20}{\longrightarrow} 60$
B：$30 \stackrel{+25}{\longrightarrow} 55 \stackrel{+20}{\longrightarrow} 75 \stackrel{+15}{\longrightarrow} 90 \stackrel{+10}{\longrightarrow} 100 \stackrel{+5}{\longrightarrow} 105$
C：$20 \stackrel{+20}{\longrightarrow} 40 \stackrel{+20}{\longrightarrow} 60 \stackrel{+10}{\longrightarrow} 70 \stackrel{+10}{\longrightarrow} 80 \stackrel{+10}{\longrightarrow} 90 ·s$
D：$14 \stackrel{+24}{\longrightarrow} 38 \stackrel{+24}{\longrightarrow} 62 \stackrel{+24}{\longrightarrow} 86 \stackrel{+24}{\longrightarrow} 110 \stackrel{+24}{\longrightarrow} 134 ·s$
要计算最大总利润，我们可以从单个利润入手解题。观察四个经销商(以下简记为A，B，C，D)的利润数据可知，1台设备利润最高时，是分配给A1台，此时单个利润是40万元；其次是B在$n=1$时，利润是30万元；接着是B在分得第2台设备时，利润增量是25万元。故若使总利润最大，A至少分得1台，B至少分得2台。假设A先分得1台，B先分得2台，观察各经销商利润增量的变化，剩下3台设备全部分配给D时，3台设备的平均利润最高，为$62 ÷ 3 \approx 20.67$(万元)。由20.67万元＞20万元＞15万元＞10万元＞5万元，可得A分得1台、B分得2台、D分得3台时，企业获得的总利润最大，为$40+55+62=157$(万元)。

17. 计算：$\vert -3\vert+\sqrt{27}+(\frac{1}{2})^{-1}-2\sin30^{\circ}$.

答案： 17 原式=$3+3\sqrt{3}+2-2 × \frac{1}{2}$
$=5+3\sqrt{3}-1$
$=4+3\sqrt{3}$ (5分)