《2025年金考卷中考45套汇编数学》

23. （本题13分）综合与探究
问题情境：如图（1），在$\triangle ABC$纸片中，$AB ＞ BC$，点D在边AB上，$AD ＞ BD$。沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段$DB'$与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到$\triangle DB'E$，然后展平。
猜想证明：
（1）判断四边形$BDB'E$的形状，并说明理由。
拓展延伸：
（2）如图（2），继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点$A'$落在射线$DB'$上，且折痕与边AC交于点F，然后展平。连接$A'E$交边AC于点G，连接$A'F$。
①若$AD = 2BD$，判断DE与$A'E$的位置关系，并说明理由；
②若$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 15$，$BC = 9$，当$\triangle A'FG$是以$A'F$为腰的等腰三角形时，请直接写出$A'F$的长。

答案：
23
(1)四边形$BDB'E$是菱形。
理由如下：由折叠可知，$B'D = BD$，$B'E = BE$，
$\angle B'DE = \angle BDE$。(2分)
$\because DB' // BC$，$\therefore \angle B'DE = \angle BED$，(3分)
$\therefore \angle BDE = \angle BED$，$\therefore BD = BE$，(4分)
$\therefore B'D = BD = BE = B'E$，$\therefore$四边形$BDB'E$是菱形。(5分)
(2)①$DE \perp A'E$。
理由如下：
如图
(1)，由
(1)得$B'D = BD = B'E$。$\because B'D = B'E$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$。
$\because B'D = B'E$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$。
由折叠可知，$A'D = AD$。$\because AD = 2BD$，$\therefore A'D = 2B'D$，
$\therefore$点$B'$是$A'D$的中点，$\therefore B'D = B'A'$，
$\therefore B'A' = B'E$，$\therefore \angle 3 = \angle 4$。
在$\triangle A'DE$中，$\because \angle 1 + \angle A'ED + \angle 4 = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$，$\therefore \angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$，(9分)
即$\angle DEA' = 90^{\circ}$，$\therefore DE \perp A'E$。(10分)
②$5$或$\frac{165}{37}$。(评分说明：只写出一个正确答案得$2$分，全部正确得$3$分)
解法提示：$\because \angle C = 90^{\circ}$，$AB = 15$，$BC = 9$，$\therefore AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = 12$，
$\therefore \tan A = \frac{3}{4}$，$\sin A = \frac{3}{5}$，$\cos A = \frac{4}{5}$。
设$AC$与$DA'$交于点$M$，$\because DB' // BC$，$\therefore \angle AMD = \angle C = 90^{\circ}$。
由折叠可知$A'F = AF$，$\angle FA'D = \angle A$，$\therefore \tan \angle FA'M = \frac{3}{4}$，
$\therefore$可设$FM = 3m$，$MA' = 4m$，则$A'F = 5m$，
$\therefore AM = AF + FM = 8m$，$\therefore AD = \frac{AM}{\cos A} = 10m$，
$\therefore BD = AB - AD = 15 - 10m$。
在菱形$BDB'E$中，$BE = BD = 15 - 10m$，$\therefore EC = BC - BE = 9 - (15 - 10m) = 10m - 6$。
$\because DB' // BE$，$\therefore \triangle A'MG \sim \triangle ECG$(点拨：“8”字型相似)，$\therefore \frac{A'M}{EC} = \frac{MG}{CG}$
$\triangle A'FG$是以$A'F$为腰的等腰三角形，可分$A'F = GF$和$A'F = A'G$两种情况讨论。
a. 当$A'F = GF$时，如图
(2)，$MG = GF - FM = A'F - FM = 2m$，$\therefore \frac{4m}{10m - 6} = \frac{2m}{12 - 10m}$，$\therefore m = 1$，$\therefore A'F = 5m = 5$。


b. 当$A'F = A'G$时，如图
(3)，$A'M \perp FG$，则$GM = FM = 3m$，
$CG = AC - AM - MG = 12 - 11m$。
此时$\frac{4m}{10m - 6} = \frac{3m}{12 - 11m}$，$\therefore m = \frac{33}{37}$，$\therefore A'F = 5m = \frac{165}{37}$。

综上，$A'F$的长为$5$或$\frac{165}{37}$。