《2025年金考卷中考45套汇编数学》

25. 工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训. 在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期$T$日($T$可取0，1，2或3)的模拟练习，然后开始试制. 记一名新员工在试制阶段的第$x$日单日制成的合格品的个数为$y$，根据以往的培训经验，对于给定的$T$，可以认为$y$是$x$的函数，当$T = 0$和$T = 3$时，部分数据如下：

$T = 3$时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变.
对于给定的$T$，在平面直角坐标系$xOy$中描出该$T$值下各数对$(x,y)$所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线$C_{T}$. 当$T = 1$和$T = 2$时，曲线$C_{1},C_{2}$如图所示.

(1)观察曲线$C_{1}$，当整数$x$的值为时，$y$的值首次超过35.
(2)写出表中$m$的值，并在给出的平面直角坐标系中画出$T = 3$时的曲线$C_{3}$.
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制.
①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第日可获得“优秀学员”证书；
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行日的模拟练习.

答案：
25
(1)6 (1分)
(2)m=46。(2分)
⑶ ①7 ②1
解法提示：
∵48−43=5，50−48=2，且一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，
∴48−m=2，
∴m=46。

当a＞0时，MN=at−(at2−2at)=−at2+3at，其对应图象的对称轴为直线x=−−2a3a​=23​。
∵在0⩽t⩽2a的范围内，MN随t的增大而增大，
∴2a⩽23​，
∴a⩽43​，
∴0＜a⩽43​。(5分)
当a＜0时，如图
(2)，此时由图易知点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，
∴a＜0符合题意。
综上，a＜0或0＜a⩽43​。(6分)

26. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$经过点$O$和点$A(3,3a)$.
（1）求$c$的值，并用含$a$的式子表示$b$.
（2）过点$P(t,0)$作$x$轴的垂线，交抛物线于点$M$，交直线$y = ax$于点$N$.
①若$a = 1$，$t = 4$，求$MN$的长；
②已知在点$P$从点$O$运动到点$B(2a,0)$的过程中，$MN$的长随$OP$的长的增大而增大，求$a$的取值范围.

答案：
26
(1)将$(0,0)$代入$y = ax^{2}+bx + c$，得$c = 0$。(1分)
将$(3,3a)$代入$y = ax^{2}+bx$，得$9a + 3b = 3a$，
∴$b = -2a$。(2分)
(2)①当$a = 1$时，抛物线及直线的解析式分别为$y = x^{2}-2x$，$y = x$。
由题意可知$x_{M}=x_{N}=t = 4$，
把$x = 4$代入$y = x^{2}-2x$，得$y = 8$，
把$x = 4$代入$y = x$，得$y = 4$，
∴$MN = 8 - 4 = 4$。(4分)
②当$a＞0$时，如图
(1)，结合图象分析可知，若要满足题意，则$MN = at-(at^{2}-2at)=-at^{2}+3at$，其对应图象的对称轴为直线$x = -\frac{3a}{-2a}=\frac{3}{2}$。
∵在$0 \leqslant t \leqslant 2a$的范围内，$MN$随$t$的增大而增大，
∴$2a \leqslant \frac{3}{2}$，
∴$a \leqslant \frac{3}{4}$，
∴$0 ＜ a \leqslant \frac{3}{4}$。(5分)
当$a＜0$时，如图
(2)，此时由图易知点$P$从点$O$运动到点$B(2a,0)$的过程中，$MN$的长随$OP$的长的增大而增大，
∴$a＜0$符合题意。
综上，$a＜0$或$0 ＜ a \leqslant \frac{3}{4}$。(6分)