《2025年金考卷中考45套汇编数学》

22. 新考法 定义“不动点函数”问题背景:对于一个函数,如果存在自变量$x_0 = m$时,其对应的函数值$y_0 = m$,那么我们称该函数为“不动点函数”,点$(m,m)$为该函数图象上的一个不动点. 例如:在函数$y = x^2$中,当$x = 1$时,$y = 1$,则我们称函数$y = x^2$为“不动点函数”,点$(1,1)$为该函数图象上的一个不动点. 某数学兴趣小组围绕该定义,对一次函数和二次函数进行了相关探究.
探究 1
(1) 对一次函数$y = kx + b(k \neq 0)$进行探究后,得出下列结论:
① $y = x + 2$是“不动点函数”,且只有一个不动点;
② $y = - 3x + 2$是“不动点函数”,且不动点是$(\frac{1}{2},0)$;
③ $y = x$是“不动点函数”,且有无数个不动点.
以上结论中,你认为正确的是③(填写正确结论的序号).
(2) 若一次函数$y = kx + b(k \neq 0)$是“不动点函数”,请直接写出$k,b$应满足的条件.
探究 2
(3) 对二次函数$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$进行探究后,该小组设计了以下问题,请你解答.
若抛物线$y = x^2 - 2bx + c$的顶点为该函数图象上的一个不动点,求$b,c$满足的关系式.
探究 3
(4) 某种商品每件的进价为 6 元,在某段时间内,若以每件$x$元出售,可卖出$(12 - x)$件,获得利润$y$元. 请写出$y$关于$x$的函数解析式,判断该函数是否是“不动点函数”,并说明理由;若该函数是“不动点函数”,请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义.

答案： 22
(1)③
(2)当k = 1时，b = 0；当$k\neq1$且$k\neq0$时，b为任意实数.
(3)方法一：由二次函数$y = x^2 - 2bx + c，$可得顶点坐标为$(b,c - b^2).$
$\because$抛物线$y = x^2 - 2bx + c$的顶点为该函数图象上的一个不动点，
$\therefore b = c - b^2，$即$c = b^2 + b.$
方法二：由二次函数$y = x^2 - 2bx + c，$可得对称轴为直线x = b.
$\because$抛物线$y = x^2 - 2bx + c$的顶点为该函数图象上的一个不动点，
$\therefore$顶点坐标为(b,b)，
$\therefore b^2 - 2b· b + c = b，$即$c = b^2 + b.$
(4)根据题意，得$y = (x - 6)(12 - x) = -x^2 + 18x - 72，$
即$y = -x^2 + 18x -$