《2025年金考卷中考45套汇编数学》

23. (10 分)在 $\angle AOB$ 中，点 $C$ 是 $\angle AOB$ 的平分线上一点，过点 $C$ 作 $CD\perp OB$，垂足为点 $D$，过点 $D$ 作 $DE\perp OA$，垂足为点 $E$，直线 $DE$，$OC$ 交于点 $F$，过点 $C$ 作 $CG\perp DE$，垂足为点 $G$.
(1)观察猜想
如图(1)，当 $\angle AOB$ 为锐角时，用等式表示线段 $CG$，$OE$，$OD$ 的数量关系：CG + OE = OD.
(2)类比探究
如图(2)，当 $\angle AOB$ 为钝角时，请依据题意补全图形(无需尺规作图)，并判断(1)中的结论是否仍然成立. 若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明.
(3)拓展应用
当 $0^{\circ}＜\angle AOB＜180^{\circ}$，且 $\angle AOB\neq90^{\circ}$ 时，若 $\frac{GF}{EF}=3$，请直接写出 $\frac{OD}{CD}$ 的值.

答案：
23.
(1)$CG + OE = OD$
解法提示:如图
(1)，过点$C$作$CH\bot OA$于点$H$。
又$OC$平分$\angle AOB$，$CD\bot OB$，$\therefore CH = CD$(依据：角平分线的性质)。
又$OC = OC$，$\therefore Rt\triangle OHC\cong Rt\triangle ODC(HL)$，
$\therefore OH = OD$。
$\because CG\bot DE$，$CH\bot OA$，$DE\bot OH$，
$\therefore$四边形$CGEH$是矩形，
$\therefore HE = CG$。
$\because HE + OE = OH$，$\therefore CG + OE = OD$。
巧作辅助线：遇两垂线，作第三条垂线，得矩形

(2)补全图形如图
(2)所示。

不成立，正确结论为$OD + OE = CG$。
(注:若没有写出结果，但后续说理正确，不扣分)
方法一:如图
(3)，过点$C$作$CH\bot OA$，垂足为点$H$。

$\because CD\bot OB$，$\therefore\angle CDO=\angle CHO = 90^{\circ}$。
$\because OC$平分$\angle AOB$，$\therefore\angle1=\angle2$。
$\because CO = CO$，$\therefore\triangle COD\cong\triangle COH(AAS)$，
$\therefore OD = OH$，$\therefore OD + OE = OH + OE = HE$。
$\because DE\bot OA$，$CG\bot DE$，
$\therefore\angle DEO=\angle CGD=\angle CHO = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$CGEH$是矩形，$\therefore HE = CG$，
$\therefore OD + OE = CG$。
方法二:如图
(4)，过点$O$作$OH\bot CG$，垂足为点$H$，

$\therefore\angle CHO=\angle GHO = 90^{\circ}$。
$\because DE\bot OA$，$CG\bot DE$，
$\therefore\angle DEO=\angle CGE=\angle GHO = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$HGEO$是矩形，
$\therefore CG// EA$，$HG = OE$，$\therefore\angle HCO=\angle AOC$。
$\because OC$平分$\angle AOB$，$\therefore\angle AOC=\angle DOC$，
$\therefore\angle HCO=\angle DOC$。
$\because CD\bot OB$，$\therefore\angle CDO=\angle CHO = 90^{\circ}$。
$\because OC = OC$，$\therefore\triangle CDO\cong\triangle OHC(AAS)$，
$\therefore OD = CH$，
$\therefore OD + OE = CH + HG$，即$OD + OE = CG$。
(3)$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
解法提示:分两种情况讨论。
①当$\angle AOB$为锐角时，如图
(5)，可知$OE + CG = OD$。

$\because CG\bot DE$，$OE\bot DE$，$\therefore CG// OE$，
$\therefore\triangle CGF\sim\triangle OEF$，$\therefore\frac{CG}{OE}=\frac{GF}{EF}=3$，
故可设$OE = x$，$CG = 3x$，$\therefore OD = 4x$，
$\therefore DE=\sqrt{(4x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{15}x$。
$\because\angle4+\angle CDG = 90^{\circ}$，$\angle3+\angle CDG = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle4=\angle3$。
又$\angle DEO=\angle CGD$，$\therefore\triangle DOE\sim\triangle CDG$(“一线三直角”模型：直线穿过“三直角”中的一角)，
$\therefore\frac{OD}{DC}=\frac{DE}{CG}=\frac{\sqrt{15}x}{3x}=\frac{\sqrt{15}}{3}$。
②当$\angle AOB$为钝角时，如图
(6)，可知$OD + OE = CG$。

同理可证$\frac{CG}{OE}=\frac{GF}{EF}=3$，
故可设$OE = x$，$CG = 3x$，$\therefore OD = 2x$，
$\therefore DE=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$。
同理可证$\triangle DOE\sim\triangle CDG$，
$\therefore\frac{OD}{DC}=\frac{DE}{CG}=\frac{\sqrt{3}x}{3x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
综上可知，$\frac{OD}{CD}$的值为$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$。