《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版贵州专版》

9. (2022·贵阳)在同一平面直角坐标系中,一次函数 $y = ax + b$ 与 $y = mx + n(a ＜ m ＜ 0)$ 的图象如图所示.小星根据图象得到以下结论:
①在一次函数 $y = mx + n$ 中,$y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大;
②方程组$\begin{cases}y - ax = b,\\y - mx = n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = - 3,\\y = 2;\end{cases}$
③方程 $mx + n = 0$ 的解为 $x = 2$;
④当 $x = 0$ 时,$ax + b = - 1$.
其中正确的个数是 (B)


A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

10. 甲、乙两人参加从 A 地到 B 地的长跑比赛,两人在比赛时所跑的路程 $y$(米)与时间 $x$(分)之间的函数关系如图所示.请根据图象,回答下列问题:
(1)乙先到达终点(填“甲”或“乙”).
(2)求出甲的函数表达式.
(3)甲、乙何时相遇?

答案： 解：
(1)乙
(2)设甲跑的路程$y$(米)与时间$x$(分)之间的关系式为$y = ax$，则$20a = 5000$，解得$a = 250$.
∴甲的函数表达式为$y = 250x(0\leqslant x\leqslant20)$.
(3)当$10\leqslant x\leqslant16$时，设乙跑的路程$y$(米)与时间$x$(分)之间的关系式为$y = kx + b$.将$(10,2000)$，$(16,5000)$代入，得$\begin{cases}10k + b = 2000,\\16k + b = 5000.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 500,\\b = -3000.\end{cases}$
∴$y = 500x - 3000$.联立$\begin{cases}y = 250x,\\y = 500x - 3000.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 12,\\y = 3000.\end{cases}$
∴甲与乙在$12$分钟时相遇.

11. 新考向 阅读理解感悟思想:
有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:
已知实数 $x,y$ 满足 $3x - y = 5$①,$2x + 3y = 7$②,求 $x - 4y$ 和 $7x + 5y$ 的值.
思考:本题常规思路是将①②联立成方程组,解得 $x,y$ 的值再代入欲求值的代数式得到答案,有的问题用常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值.
例如:①-②可得 $x - 4y = - 2$;①+②×2可得 $7x + 5y = 19$.
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
体会思想:
(1)已知二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 7,\\x + 2y = 8,\end{cases}$则 $x - y =$-1, $x + y =$5.
(2)解方程组:$\begin{cases}x + y = 5,①\\x + z = 3,②\\y + z = 4.③\end{cases}$
(3)某班级组织活动购买小奖品,买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元,买 39 支铅笔、5 块橡皮、3 本日记本共需 58 元,则购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多少元?

答案：
(1)-1 5
(2)①+②+③，得$2x + 2y + 2z = 12$，即$x + y + z = 6$.④
④-①，得$z = 1$.④-②，得$y = 3$.④-③，得$x = 2$.
∴方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 1\end{cases}$.
(3)设购买$1$支铅笔需$a$元，$1$块橡皮需$b$元，$1$本日记本需$c$元.根据题意，得$\begin{cases}20a + 3b + 2c = 32, &①\\39a + 5b + 3c = 58. &②\end{cases}$①×2 - ②，得$a + b + c = 6$，则$5a + 5b + 5c = 30$.答：购买$5$支铅笔、$5$块橡皮、$5$本日记本共需$30$元.