《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版贵州专版》

14. 湖南师大附中校本经典题某小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区. 具体规划如图所示，其中 A 区和 B 区为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是$270 m^2$和$120 m^2$，则 A 区和 B 区的总面积为360$m^2$.
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答案： 14.360

15. 计算：
(1)$\sqrt{2} × (\sqrt{32} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\sqrt{27} + \sqrt{12}}{\sqrt{3}}$.
(2)$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - 1)^2$.

答案： 15.解：
(1)原式$=\sqrt{64}-1-(\sqrt{9}+\sqrt{4})=8-1-(3+2)=7-5=2. (2)$原式$=5-2-(5-2\sqrt{5}+1)=5-2-6+2\sqrt{5}=2\sqrt{5}-3.$

16. (2024·贵阳期中)在数学兴趣小组活动中，小诚和他的同学遇到一道题：
已知$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$，求$2a^2 - 8a + 1$的值.
他是这样解答的：
$\because a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$，
$\therefore a - 2 = -\sqrt{3}$.
$\therefore (a - 2)^2 = 3,a^2 - 4a + 4 = 3$.
$\therefore a^2 - 4a = -1$.
$\therefore 2a^2 - 8a + 1 = 2(a^2 - 4a) + 1 = 2 × (-1) + 1 = -1$.
请根据小诚的解题过程，解决以下问题：
(1)$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} =\sqrt{3}-\sqrt{2}\_\_\_\_\_\_\_\_$.
(2)化简：$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}}$.
(3)若$a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$，求$a^2 - 4a + 3$的值.

答案： 16.解：$(1)\sqrt{3}-\sqrt{2} (2)$原式$=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}+...+\frac{\sqrt{10}-\sqrt{9}}{(\sqrt{10}+\sqrt{9})(\sqrt{10}-\sqrt{9})}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{10}-\sqrt{9}=\sqrt{10}-1.(3)$
∵$a=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2,$
∴$a-2=\sqrt{5}.$
∴$(a-2)^2=5,a^2-4a+4=5.$
∴$a^2-4a=1.$
∴$a^2-4a+3=1+3=4.$

1. (2024·甘南州)已知$x,y$为实数，若满足$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 2$，则$x^y$的值为(D)

A.5
B.6
C.8
D.9

答案： 1.D

2. 已知$a$满足$|2024 - a| + \sqrt{a - 2025} = a$，则$a - 2024^2$的值为2025.

答案： 2.2025

3. (2024·成都)若$m,n$为实数，且$(m + 4)^2 + \sqrt{n - 5} = 0$，则$(m + n)^2$的值为1.

答案： 3.1

4. 代数式$3 - \sqrt{4 - x^2}$的最大值是3.

答案： 4.3

5. 若$a + \sqrt{a - 2} = 2$，求$\sqrt{a + 2}$的值.

答案： 5.解：
∵$a+\sqrt{a-2}=2,$
∴$\sqrt{a-2}=2-a.$
∵a-2≥0,2-a≥0,
∴a=2.
∴$\sqrt{a+2}=\sqrt{4}=2.$