《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版贵州专版》

4. 如图,直线 $ l:y = \frac{1}{2}x + m $ 交 $ x $ 轴于点 $ A $,交 $ y $ 轴于点 $ B(0,1) $,点 $ P(n,2) $ 在直线 $ l $ 上.
(1)求 $ m $,$ n $ 的值.
(2)已知 $ M $ 是 $ x $ 轴上的动点,当以 $ A $,$ P $,$ M $ 为顶点的三角形是直角三角形时,求点 $ M $ 的坐标.

答案： 4.解：
(1)$\because$直线$l:y = \frac{1}{2}x + m$交$y$轴于点$B(0,1)$，$\therefore 1 = \frac{1}{2} × 0 + m$，解得$m = 1.\therefore$直线$l$的表达式为$y = \frac{1}{2}x + 1$.当$y = 2$时，$\frac{1}{2}n + 1 = 2$，解得$n = 2.\therefore$点$P$的坐标为$(2,2)$，即$m = 1$，$n = 2$.
(2)分两种情况考虑：①当$\angle AMP = 90^{\circ}$时，$PM \perp x$轴，$\therefore$点$M$的坐标为$(2,0)$；②当$\angle APM = 90^{\circ}$时，设点$M$的坐标为$(a,0)$.当$y = 0$时，$\frac{1}{2}x + 1 = 0$，解得$x = - 2$，$\therefore$点$A$的坐标为$( - 2,0).\therefore AP^{2} = [2 - ( - 2)]^{2} + (2 - 0)^{2} = 20$，$AM^{2} = [a - ( - 2)]^{2} = a^{2} + 4a + 4$，$PM^{2} = (a - 2)^{2} + (2 - 0)^{2} = a^{2} - 4a + 8.\because AP^{2} + PM^{2} = AM^{2}$，$\therefore 20 + a^{2} - 4a + 8 = a^{2} + 4a + 4$，解得$a = 3.\therefore$点$M$的坐标为$(3,0)$.综上所述，点$M$的坐标为$(2,0)$或$(3,0)$.

5. (2023·贵阳四十中月考)如图,一次函数 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $ 和点 $ B $,将 $ \triangle AOB $ 沿直线 $ CD $ 对折,使点 $ A $ 和点 $ B $ 重合,直线 $ CD $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C $,与 $ AB $ 交于点 $ D $.
(1)求 $ A $,$ B $ 两点的坐标.
(2)求 $ OC $ 的长.
(3)设 $ P $ 是 $ x $ 轴上一动点,若 $ \triangle PAB $ 是等腰三角形,写出点 $ P $ 的坐标.(不需计算过程)

答案： 5.解：
(1)由题意，得$y = - \frac{3}{4}x + 3$的图象与$x$轴、$y$轴交于点$A$，$B$，令$y = 0$，则$x = 4$；令$x = 0$，则$y = 3$，$\therefore$点$A$的坐标为$(4,0)$，点$B$的坐标为$(0,3)$.
(2)设$OC = a$，则$AC = CB = 4 - a$.$\because \angle BOA = 90^{\circ}$，$\therefore OB^{2} + OC^{2} = CB^{2}$，即$3^{2} + a^{2} = (4 - a)^{2}$，解得$a = \frac{7}{8}.\therefore OC = \frac{7}{8}$.
(3)设$P(x,0)$.当$PA = PB$时，$\sqrt{(x - 4)^{2}} = \sqrt{x^{2} + 9}$，解得$x = \frac{7}{8}$；当$PA = AB$时，$\sqrt{(x - 4)^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}$，解得$x = 9$或$x = - 1$；当$PB = AB$时，$\sqrt{x^{2} + 3^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}$，解得$x = 4$(舍去)或$x = - 4$.综上所述，点$P$的坐标为$(\frac{7}{8},0)$或$( - 4,0)$或$( - 1,0)$或$(9,0)$.