《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版贵州专版》

11. 清华附中校本经典题 若$\sqrt{24n}$是整数，则满足条件的最小正整数$n$的值为6.

答案： 11.6

12. 要使算式$3\sqrt{2} ◯ \sqrt{8}$的运算结果最小，则$◯$中应添加的运算符号是(B)

A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$

答案： 12.B

13. 若$a + \sqrt{12} = \sqrt{27}$，则表示实数$a$的点会落在数轴的(B)


A.段①上
B.段②上
C.段③上
D.段④上

答案： 13.B

14. 若$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{8}$，则$a$和$b$的值不可能是(D)

A.$a = 2$，$b = 2$
B.$a = \dfrac{1}{2}$，$b = \dfrac{9}{2}$
C.$a = 0$，$b = 8$
D.$a = 4$，$b = 2$

答案： 14.D

15. 计算：
(1)$\sqrt{18} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3}$.
(2)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} - \sqrt{24}$.

答案： 15.解：
(1)原式=$3 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}-\sqrt{24 ÷ 3}=3 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}=-\sqrt{2}$.
(2)原式=$\sqrt{48 ÷ 3}+\sqrt{\frac{1}{2}} × 12-2 \sqrt{6}=4+\sqrt{6}-2 \sqrt{6}=4-\sqrt{6}$.

16. 湖南师大附中校本经典题 如图，这是某土楼的平面示意图，它由两个相同圆心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为$763.02\ m^2$和$150.72\ m^2$，求圆环的宽度$d$（$\pi$取$3.14$）.

答案： 16.解：设大圆和小圆的半径分别为$R$,$r$,面积分别为$S_1$,$S_2$.由$S_1=\pi R^2$,$S_2=$$\pi r^2$可知，$R=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}$,$r=\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}$,$\therefore d=R-r=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}-\sqrt{\frac{S_2}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{763.02}{3.14}}$$-\sqrt{\frac{150.72}{3.14}}=\sqrt{243}-\sqrt{48}=9 \sqrt{3}-4 \sqrt{3}=5 \sqrt{3}$(m).

17. 新考向 推理能力 小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的思想探究下面二次根式的运算规律. 下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例 1：$\sqrt{1 + \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{3 + 1}{3}} = \sqrt{4 × \dfrac{1}{3}} = 2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
特例 2：$\sqrt{2 + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{8 + 1}{4}} = \sqrt{9 × \dfrac{1}{4}} = 3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$；
特例 3：$\sqrt{3 + \dfrac{1}{5}} = 4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$；
特例 4：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$.(填写一个符合上述运算特征的例子)
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果$n$为正整数，用含$n$的代数式表示上述特例的运算规律：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$.
(3)请说明(2)中猜想的正确性.
(4)应用运算规律计算：$\sqrt{2024 + \dfrac{1}{2026}} × \sqrt{4052}$.

答案： 17.解：
(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
(3)等式左边=$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}=$等式右边.
(4)原式=$2025\sqrt{\frac{1}{2026}} × \sqrt{2 × 2026}=2025\sqrt{2}$.