《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版贵州专版》

4. 先化简,再求值：
(1) $(\sqrt{3}+a)(\sqrt{3}-a)+(a-\sqrt{5})^2$,其中$a=\frac{1}{\sqrt{5}}$.
(2) $x(\sqrt{6}-x)+(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$,其中$x=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.

答案：
(1)原式$=3-a^{2}+a^{2}-2\sqrt{5}a + 5=8-2\sqrt{5}a.$当$a=\frac{1}{\sqrt{5}}$时，原式$=8-2\sqrt{5}×\frac{1}{\sqrt{5}}=8 - 2=6. (2)$原式$=\sqrt{6x}-x^{2}+x^{2}-5=\sqrt{6x}-5.$当$x=\sqrt{6}-\sqrt{2}$时，原式$=\sqrt{6}×(\sqrt{6}-\sqrt{2})-5=6-2\sqrt{3}-5=1-2\sqrt{3}.$

5. 对于任意的正实数$a$和$b$,我们定义新运算：$a*b=\begin{cases}\sqrt{a}-\sqrt{b}(a\geqslant b),\\\sqrt{a}+\sqrt{b}(a\lt b).\end{cases}$例如：$27*12=\sqrt{27}-\sqrt{12}=\sqrt{3}$.求$(5*2)×(18*45)$的值.

答案： 解：$\because5＞2,18＜45,\therefore(5×2)×(18×45)=(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(\sqrt{18}+\sqrt{45})=(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(3\sqrt{2}+3\sqrt{5})=3×(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(\sqrt{5}+\sqrt{2})=3×(5 - 2)=9.$

6. 若$a+b=2$,则称$a$与$b$是关于1的平衡数.
(1) 3与-1是关于1的平衡数,$5-\sqrt{2}$与-3+$\sqrt{2}$是关于1的平衡数.
(2) 若$(m+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=-5+3\sqrt{3}$,判断$m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$是不是关于1的平衡数,并说明理由.

答案： $(1)-1 -3+\sqrt{2} (2)$不是.理由如下：$m+\sqrt{3}=(-5 + 3\sqrt{3})÷(1-\sqrt{3})=(-5 + 3\sqrt{3})÷(\sqrt{3}-1)=\frac{(5 - 3\sqrt{3})×(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)×(\sqrt{3}+1)}=\frac{5\sqrt{3}+5-9-3\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}.$
$\therefore(m+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=(-2+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=3.\therefore m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$不是关于1的平衡数.

7. 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$.善于思考的小明进行了以下探索：设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$(其中$a,b,m,n$均为正整数),则有$a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2\sqrt{2}mn$.$\therefore a=m^2+2n^2,b=2mn$.这样小明就找到了一种把形如$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法.请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1) 当$a,b,m,n$均为正整数时,若$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$,用含$m,n$的式子分别表示$a,b$,得$a=$m^{2}+3n^{2},$b=$2mn.
(2) 利用所探索的结论,找一组正整数$a,b,m,n$填空：13+4$\sqrt{3}=$(1+2$\sqrt{3})^2$.
(3) 若$a+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$,且$a,m,n$均为正整数,求$a$的值.

答案： $(1)m^{2}+3n^{2} 2mn (2)13 4 1 2($答案不唯一)
(3)根据题意，得$a=m^{2}+3n^{2},4=2mn.\therefore mn=2.\because m,n$为正整数，$\therefore m = 2,n = 1$或m = 1,n = 2.
当m=2,n=1时，$a=m^{2}+3n^{2}=7;$当m=1,n=2时，$a=m^{2}+3n^{2}=13.\therefore a$的值为7或13.