《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版贵州专版》

7. 两个正数的和是24，求它们积的最大值。你有哪些解决问题的方法？

解：方法一：面积法（借助赵爽弦图）。
设这两个正数分别为$x$，$y$，如图，用8个全等的直角边长分别为$x$，$y$的直角三角形拼成“弦图”。
由图可知$AE = DH = BF = CG = x$，$DE = AF = BG = CH = y$。
由题意，得$x + y=$24。
8个直角三角形的面积为$4xy=$S_{正方形ABCD}$-S_{正方形KLMN}=$576$-S_{正方形KLMN}$，
$\therefore xy=$144$-\frac{1}{4}S_{正方形KLMN}$。
$\therefore$求$xy$的最大值，即求$S_{正方形KLMN}$的最小值。
又$\because S_{正方形KLMN}$最小值为0，
$\therefore xy$的最大值为144。
方法二：利用平方差公式求解。
设这两个正数分别为$12 - n$，12 + n。
则它们的乘积为$(12 - n)$·(12 + n)$=$________$-n^{2}$。
$\therefore$求它们积的最大值，即求$n^{2}$的最小值。
又$\because n^{2}$的最小值为0，
$\therefore$它们积的最大值为144。

答案： 方法一：面积法（借助赵爽弦图）。设这两个正数分别为$x$，$y$，如图，用8个全等的直角边长分别为$x$，$y$的直角三角形拼成“弦图”。由图可知$AE = DH = BF = CG = x$，$DE = AF = BG = CH = y$。由题意，得$x + y=24$。8个直角三角形的面积为$4xy=S_{正方形ABCD}-S_{正方形KLMN}=576-S_{正方形KLMN}$，$\therefore xy=144-\frac{1}{4}S_{正方形KLMN}$。$\therefore$求$xy$的最大值，即求$S_{正方形KLMN}$的最小值。又$\because S_{正方形KLMN}$最小值为0，$\therefore xy$的最大值为144。方法二：利用平方差公式求解。设这两个正数分别为$12 - n$，$12 + n$。则它们的乘积为$(12 - n)$·$(12 + n)$$=$$-n^{2}$。$\therefore$求它们积的最大值，即求$n^{2}$的最小值。又$\because n^{2}$的最小值为0，$\therefore$它们积的最大值为144。

8. （2024·贵阳博雅实验月考改编）追本溯源：题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）。
（1）如图1，有一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点$A$沿盒的表面爬到盒顶的点$B$，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
（2）如图2，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点$B$在棱$CD$上，$CB = 5$cm，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点$A$爬到点$B$，需要爬行的最短路程是多少？

答案：
（1）如图3，由勾股定理,得$AB^{2}=12^{2}+(8 + 8)^{2}=400$。 如图4,由勾股定理,得$AB^{2}=8^{2}+(8 + 12)^{2}=464$。$\because464＞400$，$\therefore$蚂蚁爬行的最短路线为$A - P - B$（$P$为$CD$的中点），最短路程是$20cm$。 （2）将长方体按下列三种方案展开:①如图5，一直角边长为$10cm$，另外一直角边长为$20 + 5 = 25(cm)$，根据勾股定理,得$AB^{2}=10^{2}+25^{2}=725$； ②如图6,一直角边长为$20cm$，另外一直角边长为$10 + 5 = 15(cm)$，根据勾股定理,得$AB^{2}=20^{2}+15^{2}=625$； ③如图7，$AC = 20 + 10 = 30(cm)$，$BC = 5cm$，根据勾股定理,得$AB^{2}=30^{2}+5^{2}=925$。 $\because625＜725＜925$，$625 = 25^{2}$，$\therefore$一只蚂蚁要沿长方体的表面从点$A$爬到点$B$，需要爬行的最短路程是$25cm$。