《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版贵州专版》

7. 若$a + b = 3$，$ab = 1$，则式子$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}$的值为(A)

A.$3$
B.$-3$
C.$\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{3}$

答案： A

8. 对实数$a$，$b$作新定义：$a@b = ab$，$a※b = a^{b}$.在此定义下，计算：$(\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}})@\sqrt{12}-(\sqrt{75}-4\sqrt{3})※2=$$1 - 3\sqrt{2}$.

答案： $1 - 3\sqrt{2}$

9. 计算：
(1) $\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{8}$.
(2) $(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48})÷2\sqrt{3}$.
(3) $(\sqrt{2}-6\sqrt{\frac{1}{12}})-(4\sqrt{\frac{1}{8}}-\frac{1}{2}\sqrt{75})$.

答案：
(1)原式$=\frac{3}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$.
(2)原式$=(3 × 2\sqrt{3}-2 × \frac{\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}) ÷ 2\sqrt{3}=(6\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}+4\sqrt{3}) ÷ 2\sqrt{3}=\frac{28\sqrt{3}}{3} ÷ 2\sqrt{3}=\frac{14}{3}$.
(3)原式$=\sqrt{2}-6\sqrt{\frac{1}{12}}-4\sqrt{\frac{1}{8}}+\frac{1}{2}\sqrt{75}=\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\frac{5}{2}\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

10. 如图，在由边长为$1$的小正方形组成的网格中，$\triangle ABC$的顶点$A$，$B$，$C$恰好在格点（网格线的交点）上.
(1) 求$\triangle ABC$的周长.
(2) 求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)根据题意，得$AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},AC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$,$BC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5.\therefore \triangle ABC$的周长为$AB + AC + BC=2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5 + 3\sqrt{5}$.
(2)$\because AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,\therefore BC^{2}=25,AB^{2}+AC^{2}=20 + 5=25.\therefore BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}.\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2} × \sqrt{5} × 2\sqrt{5}=5$.

11. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务.
斐波那契（约$1175 - 1250$）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第$n$个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]$表示（其中$n\geq1$），这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第$1$个数和第$2$个数.

答案： 第1个数：当$n = 1$时，$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]=\frac{1}{\sqrt{5}} × (\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2})=\frac{1}{\sqrt{5}} × \sqrt{5}=1$.第2个数：当$n = 2$时，$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]=\frac{1}{\sqrt{5}} × [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2}]=\frac{1}{\sqrt{5}} × \frac{1 + 2\sqrt{5}+5 - 1 + 2\sqrt{5}-5}{4}=\frac{1}{\sqrt{5}} × \sqrt{5}=1$.