《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版贵州专版》

15. 如图所示，已知$OA = OB$，$BC = 2$.
(1)数轴上点$A$所表示的数为$-\sqrt{13}$.
(2)比较点$A$所表示的数与$-3.5$的大小：$-\sqrt{13} ＜ -3.5$.
(3)在数轴上找出$\sqrt{10}$对应的点.(不写作法，保留作图痕迹)

答案： 解：
(1)$-\sqrt{13}$
(2)$-\sqrt{13} ＜ -3.5$
(3)图略，点G表示的数为$\sqrt{10}$。

16. (2024·贵阳乌当区期中)下列计算正确的是(B)

A.$\sqrt{5}-\sqrt{3}=\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}÷\sqrt{5}=2$

答案： B

17. (2024·贵阳十九中期中)计算：
(1)$\sqrt{12}+6\sqrt{\dfrac{1}{3}}$.
(2)$\dfrac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$.
(3)$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$.
(4)$|1-\sqrt{2}|+(\pi - 1)^{0}+(\dfrac{1}{2})^{-1}$.

答案： 解：
(1)原式$= 2\sqrt{3} + \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
(2)原式$=\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$。
(3)原式$= 4 - 3 + (3 - 2\sqrt{6} + 2) = 1 + (5 - 2\sqrt{6}) = 1 + 5 - 2\sqrt{6} = 6 - 2\sqrt{6}$。
(4)原式$=\sqrt{2} - 1 + 1 + 2 = \sqrt{2} + 2$。

18. (2024·贵阳美的中学期中)已知$a = 7 + 4\sqrt{3}$，$b = (2-\sqrt{3})^{2}$，求下列代数式的值.
(1)$a + b + ab$.
(2)$a^{2}+b^{2}$.

答案： 解：
(1)$\because a = 7 + 4\sqrt{3}$，$b = (2 - \sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3}$，$\therefore a + b = 7 + 4\sqrt{3} + 7 - 4\sqrt{3} = 14$，$ab = (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 49 - 48 = 1$。$\therefore a + b + ab = 14 + 1 = 15$。
(2)由
(1)知，$a + b = 14$，$ab = 1$，$\therefore a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 14^2 - 2×1 = 194$。

19. 华师二附中校本经典题(2024·毕节金沙县期中)观察下列各式及其验证过程.
$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$；$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
验证：$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2 - 1}=\sqrt{2}-1$；
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
$\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}=$$2 - \sqrt{3}$，$\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}=$$\sqrt{7} - \sqrt{6}$.
(2)通过上述探究，猜想：$\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}=$$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$($n$为正整数)，并验证你的猜想.
(3)计算：$(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{2022}+\sqrt{2023}}+\dfrac{1}{\sqrt{2023}+\sqrt{2024}})(1+\sqrt{2024})$.

答案： 解：
(1)$2 - \sqrt{3}$ $\sqrt{7} - \sqrt{6}$
(2)$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ 验证：$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(n + 1) - n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$。
(3)原式$=(\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{2023} - \sqrt{2022} + \sqrt{2024} - \sqrt{2023})(1 + \sqrt{2024}) = (\sqrt{2024} - 1)(\sqrt{2024} + 1) = (\sqrt{2024})^2 - 1^2 = 2024 - 1 = 2023$。