《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版贵州专版》

14. (2024·贵阳二十八中期中)如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 6 $，$ AD // y $ 轴，$ A(1,4) $.
(1) 写出 $ B $，$ C $，$ D $ 三个顶点的坐标.
(2) 写出 $ CD $ 的中点 $ P $ 的坐标.

答案： 解：
(1)
∵正方形ABCD的边长为6，AD//y轴，A(1,4)，
∴B(-5,4)，C(-5,-2)，D(1,-2).
(2)CD的中点P的坐标是(-2,-2).

15. 如图，在以点 $ O $ 为原点的平面直角坐标系中，点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (a,0) $，$ (a,b) $，点 $ C $ 在 $ y $ 轴上，且 $ BC // x $ 轴，$ a $，$ b $ 满足 $ |a - 3| + \sqrt{b - 4} = 0 $. 点 $ P $ 从原点出发，以 $ 1 $ 个单位长度/秒的速度沿着 $ O - A - B - C - O $ 的路线运动（回到点 $ O $ 为止）.
(1) 直接写出点 $ A $，$ B $，$ C $ 的坐标.
(2) 当点 $ P $ 运动 $ 5 $ 秒时，求出点 $ P $ 的坐标.

(3) 点 $ P $ 运动 $ t $ 秒后 $ (t \neq 0) $，是否存在点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ \frac{1}{2}t $ 个单位长度的情况. 若存在，求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解：
(1)A(3,0)，B(3,4)，C(0,4).
(2)当P运动5秒时，点P运动了1×5=5个单位长度.
∵AO=3，AB=4，
∴点P运动5秒时，点P在线段AB上.
∵AP=5 - 3=2，
∴点P的坐标是(3,2).
(3)存在.如图.
∵t≠0，
∴点P可能运动到AB或BC或OC上.
①当点P运动到AB上，即0＜t≤7时，P₁A=t - OA=t - 3，
∴t - 3=$\frac{1}{2}t$，解得t=6.
∴P₁A=1×6 - 3=3.
∴点P₁的坐标为(3,3);
②当点P运动到BC上，即7＜t≤10时，点P到x轴的距离为4，
∴$\frac{1}{2}t$=4，解得t=8.
∴P₂C=3 + 4 + 3 - 1×8=2.
∴点P₂的坐标为(2,4);
③当点P运动到OC上，即10＜t≤14时，P₃O=OA + AB + BC + OC - t=14 - t，
∴14 - t=$\frac{1}{2}t$，解得t=$\frac{28}{3}$.
∵$\frac{28}{3}$＜10，
∴此情况不符合题意，舍去.
综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况，点P的坐标为(3,3)或(2,4).

【例】 若点 $ M(5 + a,a - 3) $ 在第二、四象限的角平分线上，则 $ a = $-1.
分析：在第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，由此，利用相反数的概念列一元一次方程即可得解.

答案： -1

1. 在平面直角坐标系中，若点 $ P(2m - 3,3m - 1) $ 在第一、三象限的角平分线上，则点 $ P $ 的坐标为(-7,-7).

答案： (-7,-7)

2. 如图，在 $ x $ 轴、$ y $ 轴上分别截取 $ OA $，$ OB $，使 $ OA = OB $，再分别以点 $ A $，$ B $ 为圆心，大于 $ \frac{1}{2}AB $ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $ P $. 若点 $ P $ 的坐标为 $ (a,2a - 3) $，则 $ a $ 的值为3.

答案： 3

3. 已知点 $ P(2a + 5,10 - 3a) $ 位于两坐标轴所成角的平分线上，则点 $ P $ 的坐标为____.

答案： (7,7)或(35,-35)