《2025年同步练习册山东教育出版社七年级数学上册人教版》

9. 观察下列等式：
$ 3^{1} = 3 $，$ 3^{2} = 9 $，$ 3^{3} = 27 $，$ 3^{4} = 81 $，$ 3^{5} = 243 $，$ 3^{6} = 729 $，$ 3^{7} = 2187 $。
解答下列问题：$ 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + \cdots + 3^{2024} $ 的个位数字是(A)。

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 3 $
D.$ 7 $

答案： A

10. 观察下列式子：
$ 1 × 3 + 1 = 2^{2} $；
$ 7 × 9 + 1 = 8^{2} $；
$ 25 × 27 + 1 = 26^{2} $；
$ 79 × 81 + 1 = 80^{2} $；
$ \cdots \cdots $
可猜想第 $ 2024 $ 个式子为$(3^{2024}-2)×3^{2024}+1=(3^{2024}-1)^2$。

答案： $(3^{2024}-2)×3^{2024}+1=(3^{2024}-1)^2$

11. 将全体正奇数排成一个三角形数阵：
$\begin{array}{ccccccc}& & & 1 & & & \\& & 3 & & 5 & & \\& 7 & & 9 & & 11 & \\13 & & 15 & & 17 & & 19 \\& & & \cdots & & &\end{array}$
按照以上排列的规律，第 $ 25 $ 行第 $ 20 $ 个数是639。

答案： 639

12. (1)规定：求若干个相同的有理数(均不等于 $ 0 $)的除法运算叫做除方，如 $ 2 ÷ 2 ÷ 2 $，$ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3) $ 等。类比有理数的乘方，我们把 $ 2 ÷ 2 ÷ 2 $ 记作 $ 2^{\circledcirc 3} $，读作“$ 2 $ 的圈 $ 3 $ 次方”；$ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3) $ 记作 $ (-3)^{\circledcirc 4} $，读作“$ -3 $ 的圈 $ 4 $ 次方”。一般地，把 $ \underbrace{a ÷ a ÷ a ÷ \cdots ÷ a}_{n 个 a} (a \neq 0) $ 记作 $ a^{\circledcirc n} $，读作“$ a $ 的圈 $ n $ 次方”。
① 直接写出计算结果：
$ 2^{\circledcirc 3} = $$\dfrac{1}{2}$；$ \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{\circledcirc 5} = $$-8$。
② 关于除方，下列说法错误的是(C)。
A. 任何非零数的圈 $ 3 $ 次方都等于它的倒数
B. 对于任何正整数 $ n $，$ 1^{\circledcirc n} = 1 $
C. $ 3^{\circledcirc 4} ＞ 4^{\circledcirc 3} $
D. 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
$\begin{array}{c}\boxed{除方} \\2^{\circledcirc 4} = 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 \\= 2 × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} \\= \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} \\\boxed{乘方幂的形式}\end{array}$
① 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式。
$ (-3)^{\circledcirc 4} = $$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2$；$ 5^{\circledcirc 6} = $$\left(\dfrac{1}{5}\right)^4$；$ \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{\circledcirc 10} = $$(-2)^8$。
② 想一想：将一个非零有理数 $ a $ 的圈 $ n (n \geq 3) $ 次方写成幂的形式等于$\left(\dfrac{1}{a}\right)^{n-2}$。
③ 算一算：$ 12^{2} ÷ \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{\circledcirc 4} × \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{\circledcirc 5} + \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{\circledcirc 6} ÷ 3^{3} $。

答案： （1）①$\dfrac{1}{2}$；$-8$；②C；（2）①$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2$；$\left(\dfrac{1}{5}\right)^4$；$(-2)^8$；②$\left(\dfrac{1}{a}\right)^{n-2}$；③解：原式$=12×12÷(-3)^2×(-2)^3+(-3)^4÷3^3=-144÷9×8+81÷27=-128+3=-125$