《2025年学习目标与检测同步测试卷七年级数学上册人教版》

22. (10分) 阅读材料.
数学活动课上，老师提出问题：用式子表示十位上的数字为$a$，个位上的数字为$b$的两位数，再把这个两位数的十位数字与个位数字交换位置，计算所得数与原数的和. 这个和能够被11整除吗？
原数是$10a + b$，交换位置后是$10b + a$，两个两位数相加的结果是$11a + 11b = 11(a + b)$. 由于$a$与$b$均为整数，所以这个和能够被11整除.
某同学根据上述解题思路提出一个猜想：把一个三位正整数的百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数字与个位上的数字的差. 例如：$782 - 287 = 99×(7 - 2)$.
请回答问题：
(1) 这位同学的猜想是否正确？ 若正确，对任意情况进行说明；若不正确，说明理由.
(2) 已知一个五位正整数的万位上的数字为$m$，个位上的数字为$n$，$m,n$均不为0，把万位上的数字与个位上的数字交换位置，其余数位上的数字不变，则原数与所得数的差为多少？（用含$m,n$的式子表示）

答案： 22.解
(1)这位同学的猜想正确，说明如下：
令这个三位正整数的百位数字、十位数字、个位数字分别为$x,y,z(x,z$均不为0)，则这个三位正整数为$100x+10y+z$，交换位置后的正整数为$100z+10y+x$，
所以原数与所得数的差为$100x+10y+z-(100z+10y+x)=99x-99z=99(x-z)$，
所以原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数字与个位上的数字的差.
(2)令这个五位正整数的千位数字、百位数字、十位数字分别为$d,e,f$，则这个五位正整数为$10000m+1000d+100e+10f+n$，
交换位置后的正整数为$10000n+1000d+100e+10f+m$，
所以原数与所得数的差为$10000m+1000d+100e+10f+n-(10000n+1000d+100e+10f+m)=10000m+1000d+100e+10f+n-10000n-1000d-100e-10f-m=9999(m-n)$.