《2025年名校课堂七年级数学上册人教版贵州专版》

综合与探究
【问题情境】
一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被 3 整除,那么这个自然数就能被 3 整除.
例如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 $a$,$b$,则通常记这个两位数为$\overline {ab}$,于是$\overline {ab}= 10a + b = 9a+(a + b)$. 显然 $9a$ 能被 3 整除,因此,如果 $a + b$ 能被 3 整除,那么 $9a+(a + b)$ 就能被 3 整除,即$\overline {ab}$能被 3 整除.
【类比探究】
已知三位数$\overline {abc}$.
(1)$\overline {abc}= $______100a+10b+c.(请用含 $a$,$b$,$c$ 的代数式表示)
(2)若 $a + b + c$ 能被 3 整除,则三位数$\overline {abc}$就能被 3 整除. 请说出其中的道理.
【类比拓展】
判断一个三位数能否被 7 整除,只需看去掉这个数的末位数字后,所得到的数与此末尾数字 5 倍的和能否被 7 整除. 如果这个和能被 7 整除,则原数就能被 7 整除.
例如：三位数$\overline {abc}$去掉末位数字 $c$,得两位数$\overline {ab}$,再用$\overline {ab}$加上 $c$ 的 5 倍,所得的和为$\overline {ab}+5c$. 若$\overline {ab}+5c$ 是 7 的倍数,则$\overline {abc}$能被 7 整除.
(3)请说明“若$\overline {ab}+5c$ 是 7 的倍数,则$\overline {abc}$能被 7 整除”这个结论成立的理由.

答案：
(1)100a+10b+c
(2)$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=3(33a+3b)+(a+b+c)$.
∵a 为正整数,b,c 为整数,
∴33a+3b 为正整数,
∴3(33a+3b)能被 3 整除.又
∵a+b+c 能被 3 整除,
∴99a+9b+(a+b+c)能被 3 整除,即$\overline{abc}$能被 3 整除.
(3)
∵$\overline{ab}+5c=10a+b+5c$,
∴$\overline{abc}=100a+10b+c=10(10a+b)+c=10(10a+b+5c-5c)+c=10(10a+b+5c)-50c+c=10(\overline{ab}+5c)-49c$.
∵c 为整数,
∴49c 能被 7 整除.又
∵$\overline{ab}+5c$是 7 的倍数,
∴10($\overline{ab}+5c$)-49c 能被 7 整除,即$\overline{abc}$能被 7 整除.