《2025年名校课堂七年级数学上册人教版贵州专版》

1. (2023·岳阳)观察下列式子：$1^{2}-1 = 1×0$；$2^{2}-2 = 2×1$；$3^{2}-3 = 3×2$；$4^{2}-4 = 4×3$；$5^{2}-5 = 5×4……$依此规律,则第$n$($n$为正整数)个等式是$n^{2}-n=n(n-1)$.

答案： $n^{2}-n=n(n-1)$

2. (2024·云南改编)有一组按一定规律排列的代数式：$2x$,$3x^{2}$,$4x^{3}$,$5x^{4}$,$6x^{5}$,…$$,则第$n$个代数式是$(n+1)x^{n}$.

答案： $(n+1)x^{n}$

3. 符号“$f$”“$g$”分别表示一种运算,它们对一些数的运算结果如下：
(1)$f(1)= 0$,$f(2)= 1$,$f(3)= 2$,$f(4)= 3$,…,$f(10)= 9$……
(2)$g(\frac{1}{2}) = 2$,$g(\frac{1}{3}) = 3$,$g(\frac{1}{4}) = 4$,$g(\frac{1}{5}) = 5$,…,$g(\frac{1}{11}) = 11$……
利用以上规律计算：$g(\frac{1}{2025})-f(2025)= $1.

答案： 1

4. 观察这组数：$\frac{2}{3}$,$\frac{6}{9}$,$\frac{12}{27}$,$\frac{20}{81}$,$\frac{30}{243}$,…$$,它们是按一定规律排列的,那么这组数的第$n$个数是$\frac{n(n+1)}{3^{n}}$.

答案： $\frac{n(n+1)}{3^{n}}$

5. 湖南师大附中校本经典题如图,我们做一个游戏：从大拇指开始,按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指…的顺序依次数正整数$1$,$2$,$3$,$4$,$5…$.当第$n$次数到中指时,恰好数到的数是$4n-1$(用含$n$的代数式表示).

答案： $4n-1$

6. (2023·山西)如图,这是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的圆片组成.第$1个图案中有4$个白色圆片,第$2个图案中有6$个白色圆片,第$3个图案中有8$个白色圆片,第$4个图案中有10$个白色圆片……依此规律,第$n$个图案中有$(2+2n)$个白色圆片(用含$n$的代数式表示).

答案： $(2+2n)$

7. 如图,用同样大小的棋子按以下规律摆放.若第$n个图中有6078$枚棋子,则$n$的值是2025.

答案： 2025

8. 新考向推理能力下列数阵是由$50个偶数按照5×10$排成的,框内有四个数.
(1)猜测：图中框内四个数之和与数字$4$有什么关系？
(2)在数阵中任意画一个类似于(1)中的框,设左上角的数为$x$,那么怎样表示其他三个数？
(3)任意移动这个框,是否都能得到(1)中的结论？你能说明理由吗？

答案： 解:
(1)图中框内四个数之和能被4整除.
(2)其他三个数分别为$x+2$,$x+12$,$x+14$.
(3)能.理由如下:$x+x+2+x+12+x+14=4x+28=4(x+7)$.$\because x$为整数,$\therefore x+7$为整数.$\therefore$任意移动这个框,框内四个数之和都能被4整除.