《2025年学习之友八年级数学上册人教版》

5. 正方形面积为$121x^{2}+22xy + y^{2}(x\gt0,y\gt0)$,则这个正方形的周长是44x+4y。

答案： 44x+4y

6. 若多项式$x^{2}+ax + b分解因式的结果为(x + 1)(x - 2)$,则$a + b$的值为-3。

答案： -3

7. 因式分解：
(1)$-2x^{2}+2x-\frac{1}{2}$；
(2)$(x^{2}+9)^{2}-36x^{2}$；
(3)$(3x + 2y)^{2}-(2x + 3y)^{2}$；
(4)$a^{2}(a - b)^{2}-b^{2}(b - a)^{2}$。

答案：
(1)解:原式$=-2x^2+2x-\frac{1}{2}=-2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)=-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2；$
(2)解:原式$=(x^2+9)^2-36x^2=(x^2+9)^2-(6x)^2=(x^2-6x+9)(x^2+6x+9)=(x-3)^2(x+3)^2；$
(3)解:原式$=(3x+2y)^2-(2x+3y)^2=(3x+2y+2x+3y)(3x+2y-2x-3y)=(5x+5y)(x-y)=5(x+y)(x-y)；$
(4)解:原式$=a^2(a-b)^2-b^2(b-a)^2=a^2(a-b)^2-b^2(a-b)^2=(a^2-b^2)(a-b)^2=(a-b)(a+b)(a-b)^2=(a+b)(a-b)^3$

8. 先因式分解,再计算求值：$(x - 1)^{2}(x + 2)+(x - 1)(x + 2)^{2}-x(1 - x)(x + 2)$,其中$x = 1$。

答案： 解:原式$=(x-1)^2(x+2)+(x-1)(x+2)^2-x(1-x)(x+2)=(x-1)^2(x+2)+(x-1)(x+2)^2+x(x-1)(x+2)=(x-1)(x+2)(x-1+x+2+x)=(x-1)(x+2)(3x+1)$当x=1时,=(1-1)×(1+2)×(3×1+1)=0

9. 计算：$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+5^{2}-6^{2}+…+99^{2}-100^{2}$。

答案： 解:原式=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+…+(99-100)(99+100)=-(1+2+3+4+…+99+100)=-101×50=-5050

多项式的乘法法则知：若$(x + a)(x + b)= x^{2}+px + q$,则$p = a + b$,$q = a\cdot b$；反过来$x^{2}+px + q= (x + a)(x + b)$。要将多项式$x^{2}+px + q$进行分解,关键是找到两个数$a$,$b$,使$a + b = p$,$a\cdot b = q$,如对多项式$x^{2}-3x + 2$,有$p = -3$,$q = 2$。$a = -1$,$b = -2$,此时$(-1)+(-2)= -3$,$(-1)(-2)= 2$,所以$x^{2}-3x + 2可分解为(x - 1)(x - 2)$,即$x^{2}-3x + 2= (x - 1)(x - 2)$。
(1)根据以上分析填写下表：

多项式 $p$ $q$ $a$ $b$ 分解结果 $x^2+9x+20$ 9 20 4 5 $(x+4)(x+5)$ $x^2-9x+20$ $-9$ 20 $-4$ $-5$ $(x-4)(x-5)$ $x^2+x-20$ 1 $-20$ $-4$ 5 $(x-4)(x+5)$ $x^2-x-20$ $-1$ $-20$ 4 $-5$ $(x+4)(x-5)$
(2)根据填表,还可得出如下结论：
当$q$是正数时,应分解成两个因数$a$,$b$同号,$a$,$b$的符号与$p$相同；当$q$是负数时,应分解成的两个因数$a$,$b$异号,$a$,$b$中绝对值较大的因数的符号与$p$相同。
(3)分解因式。
$x^{2}-x - 12= $$(x+3)(x-4)$；$x^{2}-7x + 6= $$(x-1)(x-6)$。

答案：
(1)多项式 $p$ $q$ $a$ $b$ 分解结果 $x^2+9x+20$ 9 20 4 5 $(x+4)(x+5)$ $x^2-9x+20$ $-9$ 20 $-4$ $-5$ $(x-4)(x-5)$ $x^2+x-20$ 1 $-20$ $-4$ 5 $(x-4)(x+5)$ $x^2-x-20$ $-1$ $-20$ 4 $-5$ $(x+4)(x-5)$；
(2)同 $p$ 异 $p$；
(3)$(x+3)(x-4)$；$(x-1)(x-6)$