《2025年学习之友八年级数学上册人教版》

4. 如图,$\angle B= \angle C = 90^{\circ}$,$E是BC$的中点,$DE平分\angle ADC$,$\angle DAB = 60^{\circ}$,求$\angle BAE$的度数.

答案： 解:如图,作EF⊥AD于点F 　由题意知，AB//CD,
∵∠DAB=60°,DE平分∠ADC
∴∠ADC=120°,∠ADE=∠CDE=60°　在△CDE和△FDE中　　∠EDC=∠EDF 　　∠C=∠DFE=90°　　DE=DE
∴△CDE≌△FDE(AAS)
∴EF=CE=BE 　在Rt△ABE和Rt△AFE中　　AE=AE 　　BE=EF
∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL)
∴∠BAE=∠FAE=1/2∠DAB=30°
∴∠BAE=30°

1. 小强为了测量一幢高楼高$AB$,在旗杆$CD与楼之间选定一点P$,测得旗杆顶$C视线PC与地面夹角\angle DPC = 36^{\circ}$,测楼顶$A视线PA与地面夹角\angle APB = 54^{\circ}$,量得$P到楼底距离PB$与旗杆高度相等,等于$10$m,量得旗杆与楼之间距离为$DB = 36$m,小强计算出了楼高,楼高$AB$是多少米？

答案： 解:由题意知:CD⊥BD,AB⊥BD,CD=BP=10m.
∵BD=36m,BP=10m,
∴DP=36 - 10=26m.
∵CD⊥BD,∠DPC=36°,
∴∠DCP=90° - 36°=54°.
∵∠APB=54°,
∴∠DCP=∠APB.
∵CD⊥BD,AB⊥BD,
∴∠D=∠ABP=90°.在△CDP和△PBA中,∠DCP=∠APB,CD=BP,∠D=∠ABP,
∴△CDP≌△PBA(ASA),
∴DP=AB.
∵DP=26m,
∴AB=26m.　答:楼高AB为26m.

2. 点$A$,$E$,$F$,$C$在同一条直线上,$AE = CF$,过$E$,$F分别作DE\perp AC$,$BF\perp AC$,且$AB = CD$.
(1) 如图①,若$EF与BD相交于点G$,试问$EG与FG$相等吗？试说明理由.
(2) 如图②,若将$\triangle DEC的边EC沿AC$方向移动至图中所示的位置时,其余条件不变,(1)中的结论是否还成立？(不需证明).

答案：
(1)EG=FG.理由如下:
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠CED=90°.　在Rt△ABF和Rt△CDE中,AB=CD,AF=CE,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE,
∴BF=DE.　在△BFG和△DEG中,∠BGF=∠DGE,∠AFB=∠CED,BF=DE,
∴△BFG≌△DEG,
∴FG=EG.
(2)依然成立.