《2025年学习之友八年级数学上册人教版》

1. 已知$ab = 2$,则$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$的值为8。

答案： 8

2. 若$n$为任意整数,$(n + 11)^{2}-n^{2}的值总可以被k$整除,则$k$等于11。

答案： 11

3. 两个连续奇数的平方差是(C)
A.$16$的倍数
B.$12$的倍数
C.$8$的倍数
D.$6$的倍数

答案： C

4. 已知$\vert a - b - 3\vert+(a + b - 2)^{2}= 0$,求$a^{2}-b^{2}$的值。

答案： 解:$\because |a-b-3|+(a+b-2)^{2}=0,$
$\therefore \left\{\begin{array}{l} a-b-3=0,\\ a+b-2=0,\end{array}\right. $
$\therefore a-b=3,a+b=2,$
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
$=3×2$
$=6.$

5. 用适当的方法分解因式：
(1)$a^{4}-9a^{2}b^{2}$；
(2)$3(m + n)^{2}-27n^{2}$。

答案：
(1)解:原式$=a^{2}(a^{2}-9b^{2})$
$=a^{2}(a+3b)(a-3b)$
(2)解:原式$=3[(m+n)^{2}-9n^{2}]$
$=3(m+n+3n)(m+n-3n)$
$=3(m+4n)(m-2n)$

1. 解方程：$(5x + 6)^{2}-(5x - 6)^{2}= 360$。

答案： 解:$[(5x+6)+(5x-6)][(5x+6)-(5x-6)]=360$
$10x×12=360$
$12x=36$
得$x=3$

2. 探索活动：
(1)如图(1),可以求出阴影部分的面积是$a^{2}-b^{2}$(写成两个平方差的形式)；
(2)如图(2),若将图(1)中阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,面积是$(a+b)(a-b)$(写成多项式乘法的形式)；
(3)比较图(1)、图(2)阴影部分的面积,可以得到公式$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$。
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：
①计算：$(a + b - 2c)(a + b + 2c)$；
②若$4x^{2}-9y^{2}= 10$,$4x + 6y = 4$,求$2x - 3y$的值。

解:①$(a+b-2c)(a+b+2c)$
$=[(a+b)-2c][(a+b)+2c]$
$=(a+b)^{2}-(2c)^{2}$
$=a^{2}+2ab+b^{2}-4c^{2}$
②由$4x+6y=4$得$2x+3y=2$
由$4x^{2}-9y^{2}=10$
得$(2x+3y)(2x-3y)=2(2x-3y)=10$
$\therefore 2x-3y=5$

答案：
(1)$a^{2}-b^{2}$
(2)$(a+b)(a-b)$
(3)$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
解:①$(a+b-2c)(a+b+2c)$
$=[(a+b)-2c][(a+b)+2c]$
$=(a+b)^{2}-(2c)^{2}$
$=a^{2}+2ab+b^{2}-4c^{2}$
②由$4x+6y=4$得$2x+3y=2$
由$4x^{2}-9y^{2}=10$
得$(2x+3y)(2x-3y)=2(2x-3y)=10$
$\therefore 2x-3y=5$