《2025年学习之友八年级数学上册人教版》

7. $(x + y)^{2} - M = (x - y)^{2}$,则$M$为(C)
A.$2xy$
B.$\pm 2xy$
C.$4xy$
D.$\pm 4xy$

答案： C

8. 已知$a + \frac{1}{a} = 3$,则$a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$的值是(B)
A.$9$
B.$7$
C.$11$
D.$5$

答案： B

9. 计算：
(1)$(2a - 3)(a + 1) - 2(1 - a)^{2}$；
(2)$(a + 2b)(a - 2b)(a^{2} - 4b^{2})$.

答案：
(1)解:原式$=2a^{2}+2a-3a-3-2(1-$
$2a+a^{2})$
$=2a^{2}-a-3-2a^{2}+4a-2$
$=3a-5$
(2)解:原式$=[a^{2}-(2b)^{2}]\cdot (a^{2}-4b^{2})$
$=(a^{2}-4b^{2})^{2}$
$=a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}$

1. 已知$a + b = 7$,$ab = 12$,求$a^{2} + b^{2}和(a - b)^{2}$的值.

答案： 解:由$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$可得$a^{2}+$
$b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$.当$a+b=7,ab=12$
时,$a^{2}+b^{2}=7^{2}-2×12=25$.由$(a-b)^{2}$
$=a^{2}-2ab+b^{2}+4ab-4ab=(a+b)^{2}-$
$4ab$.当$a+b=7,ab=12$时,$(a-b)^{2}=7^{2}$
$-4×12=1.$

2. 图①是一个长为$2m$、宽为$2n$的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于多少？
$m-n$
(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分面积：
方法一：$(m-n)^{2}$；
方法二：$(m+n)^{2}-4mn$.
(3)观察图②,你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：$(m + n)^{2}$,$(m - n)^{2}$,$4mn$.
$(m+n)^{2}-4mn=(m-n)^{2}$
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题：
若$a + b = 7$,$ab = 5$,求$(a - b)^{2}$的值.
$\because (a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2},\therefore$当$a+b=7,ab=5$时,$(a-b)^{2}=7^{2}-4×5=29$

答案： 解:
(1)$m-n$.
(2)方法一:$(m-n)^{2}$
方法二:$(m+n)^{2}-4mn$
(3)$(m+n)^{2}-4mn=(m-n)^{2}.$
(4)$\because (a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2},\therefore$当$a+$
$b=7,ab=5$时,$(a-b)^{2}=7^{2}-4×5=29.$

3. 阅读理解：求代数式$x^{2} + 4x + 8$的最小值.
解：$\because x^{2} + 4x + 8 = (x^{2} + 4x + 4) + 4 = (x + 2)^{2} + 4 \geq 4$,
$\therefore当x = -2$时,代数式$x^{2} + 4x + 8的最小值是4$.仿照应用求值：
(1)求代数式$m^{2} + 2m + 3$的最小值；
(2)求代数式$-m^{2} + 3m + \frac{3}{4}$的最大值.

答案：
(1)$m^{2}+2m+3=(m^{2}+2m+1)+2$
$=(m+1)^{2}+2≥2$.当$m=-1$时,$m^{2}+$
$2m+3$的最小值为 2.
(2)$-m^{2}+3m+\frac{3}{4}=-[m^{2}-3m+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}]+$
$\frac{3}{4}=-[(m-\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}]+\frac{3}{4}=-(m-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=-(m-\frac{3}{2})^{2}+3$
$≤3$.当$m=\frac{3}{2}$时,$-m^{2}+3m+\frac{3}{4}$的最大值
为 3.