《2025年学习之友八年级数学上册人教版》

1. 学习全等三角形的判定方法以后,我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”,但下列两种情形还是成立的.
(1)第一种情形(如图1)在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$\angle C = \angle F = 90^{\circ}$,$AC = DF$,$AB = DE$,则根据HL,得出$\triangle ABC \cong \triangle DEF$.
(2)第二种情况(如图2)在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$\angle C = \angle F$($\angle C和\angle F$均为钝角),$AC = DF$,$AB = DE$.求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

证明：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足为G，H.
∵AG⊥BG，DH⊥EH，
∴∠AGC=∠DHF=90°.
∵∠ACB=∠DFE，
∴∠ACG=∠DFH.在△ACG和△DFH中，$\left\{\begin{array}{l} ∠AGC=∠DHF,\\ ∠ACG=∠DFH,\\ AC=DF,\end{array}\right. $
∴△ACG≌△DFH（AAS），
∴AG=DH，CG=FH.在Rt△AGB和Rt△DHE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AG=DH,\end{array}\right. $
∴Rt△AGB≌Rt△DHE（HL），
∴BG=EH.
∵CG=FH，
∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AC=DF,\\ BC=EF,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△DEF（SSS）.

答案： （1）HL
（2）证明：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足为G，H.
∵AG⊥BG，DH⊥EH，
∴∠AGC=∠DHF=90°.
∵∠ACB=∠DFE，
∴∠ACG=∠DFH.在△ACG和△DFH中，$\left\{\begin{array}{l} ∠AGC=∠DHF,\\ ∠ACG=∠DFH,\\ AC=DF,\end{array}\right. $
∴△ACG≌△DFH（AAS），
∴AG=DH，CG=FH.在Rt△AGB和Rt△DHE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AG=DH,\end{array}\right. $
∴Rt△AGB≌Rt△DHE（HL），
∴BG=EH.
∵CG=FH，
∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AC=DF,\\ BC=EF,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△DEF（SSS）.

2. 如图,已知$\triangle ABC \cong \triangle DBE$,点$D在边AC$上,$BC与DE交于点P$,$\angle ABE = 162^{\circ}$,$\angle DBC = 30^{\circ}$,$AD = DC = 2.5$,$BC = 4$.
(1)求$\angle CBE$的度数；
(2)求$\triangle CDP与\triangle BEP$的周长的和.

答案： 解：（1）
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE.
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE.
∵∠ABD+∠DBC+∠CBE=∠ABE，
∴∠CBE=$\frac {1}{2}$（∠ABE-∠DBC）=$\frac {1}{2}$×（162°-30°）=66°.
（2）
∵△ABC≌△DBE，
∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4，
∴△CDP与△BEP的周长的和为DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5.